Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается в русской литературе и () в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или .
Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на стандартных отклонений, составляет менее . В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.
Определение Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется
где символ обозначает математическое ожидание<ref ></ref><ref ></ref>.
Замечания
Если случайная величина дискретная, то
где — -ое значение случайной величины, — вероятность того, что случайная величина принимает значение , — количество значений, которые принимает случайная величина.
Если случайная величина непрерывна, то:
, где — плотность вероятности случайной величины. В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины. Дисперсия может быть бесконечной. Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов :
Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности. Формула для вычисления смещённой оценки дисперсии случайной величины по последовательности реализаций этой случайной величины: имеет вид: , где — выборочное среднее (несмещённая оценка ). Для получения несмещённой оценки дисперсии случайной величины значение необходимо умножить на . Несмещённая оценка имеет вид:
Свойства Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: Аркашов Н. С. Теория вероятностей и случайные процессы, 2017. — С. 70.; Если случайная величина равна константе , то её дисперсия равна нулю: Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика, 2019. — С. 95.; Дисперсия суммы двух случайных величин равна: , где — их ковариацияКремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика, 2019. — С. 196.; Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенствоLouis-Pierre Arguin. A First Course in Stochastic Calculus, 2022. — P. 28.: , где . В частности, для любых независимых или некоррелированных случайных величин: , , так как их ковариации равны нулю; ; .
Условная дисперсия
Наряду с условным математическим ожиданием в теории случайных процессов используется условная дисперсия случайных величин .
Условной дисперсией случайной величины относительно случайной величины называется случайная величина: . Её свойства: условная дисперсия относительно случайной величины является Y-измеримой случайной величиной (то есть измерима относительно сигма-алгебры, порождённой случайной величиной ); условная дисперсия неотрицательна: ; условная дисперсия равна нулю тогда и только тогда, когда почти наверное, то есть тогда и только тогда, когда совпадает почти наверное с некоторой Y-измеримой величиной (а именно, с ); обычная дисперсия также может быть представлена как условная: ; если величины и независимы, случайная величина является константой, равной ; если — две числовые случайные величины, то
откуда, в частности, следует, что дисперсия условного математического ожидания всегда меньше или равна дисперсии исходной случайной величины .
Пример
Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на , то есть её плотность вероятности задана равенством
Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины равно , и математическое ожидание случайной величины равно
Дисперсия случайной величины равна
См. также Среднеквадратическое отклонение Моменты случайной величины Ковариация Выборочная дисперсия Независимость (теория вероятностей) Скедастичность Абсолютное отклонение Дельта-метод
Примечания
Литература
Категория:Теория вероятностей Категория:Математическая статистика