Байесовская игра () или игра с неполной информацией () в теории игр характеризуются неполнотой информации о соперниках (их возможных стратегиях и выигрышах), при этом у игроков есть веры относительно этой неопределённости. Байесовскую игру можно преобразовать в игру полной, но несовершенной информации, если принять допущение об общем априорном распределении. В отличие от неполной информации, несовершенная информация включает знание стратегий и выигрышей соперников, но история игры (предыдущие действия оппонентов) доступна не всем участникам.

Джон Харсаньи описал байесовские игры следующим образомHarsanyi, John C., 1967/1968. "Games with Incomplete Information Played by Bayesian Players, I-III." Management Science 14 (3): 159-183 (Part I), 14 (5): 320-334 (Part II), 14 (7): 486-502 (Part III).. В дополнение к фактическим участникам игры появляется виртуальный игрок «Природа». Природа наделяет каждого из фактических участников случайной переменной, значения которой называются типами. Распределение (плотность или функция вероятности) типов для каждого из игроков известно. В начале игры природа «выбирает» типы игроков. Тип, в частности, определяет функцию выигрыша участника. Таким образом, неполнота информации в байесовской игре — незнание по крайней мере одним игроком типа некого другого участника. Игроки обладают верами относительно типов соперников; вера — вероятностное распределение на множестве возможных типов. В процессе игры веры обновляются в соответствии с теоремой Байеса.

Определение Игра определяется так: , где

— множество игроков. — множество состояний природы. Пример состояния природы: порядок колоды в карточной игре. — множество действий игрока . Пусть . — множество типов игрока . Тип определяется по правилу . определяет доступные действия для игрока , обладающего неким типом в . функция выигрыша игрока . Более формально, пусть , и . распределение вероятности на для каждого игрока , то есть каждый игрок по-разному оценивает вероятности состояний природы; в течение игры они его не знают.

Чистая стратегия должна удовлетворять для всех . Стратегия каждого игрока зависит только от его типа, так как типы других игроков для него скрыты. Ожидаемый выигрыш игрока при данном стратегическом профиле равен .

Пусть — множество чистых стратегий,

Байесовское равновесие игры определяется как равновесие Нэша (возможно, в смешанных стратегиях) игры . Если игра конечна, байесовское равновесие существует всегда.

Примеры

Дилемма шерифа Шериф сталкивается с подозреваемым. Оба должны одновременно принять решение о том, следует ли стрелять.

Подозреваемый имеет два возможных типа: «преступник» и «законопослушный». У шерифа есть только один тип. Подозреваемому известен его тип, шерифу же он неведом. Таким образом, в игре присутствует неполная информация, она относится к классу байесовских. По мнению шерифа, с вероятностью p подозреваемый является преступником, с вероятностью 1-p — законопослушным гражданином. Величины p и 1-p известны обоим игрокам, поскольку делается допущение об общем априорном распределении. Именно оно позволяет преобразовать эту игру в игру полной, но несовершенной информации.

Шериф предпочёл бы стрелять, если стреляет подозреваемый, и избежать стрельбы в противном случае (даже если подозреваемый действительно является преступником). Преступник склонен стрелять (даже если шериф не стреляет), в то время как законопослушный гражданин хочет избежать конфликта любым образом (даже если шериф стреляет). Матрицы выигрышей зависит от типа подозреваемого: +  Тип = «Законопослушный»Действие шерифаСтрелятьНе стрелятьДействие подозреваемогоСтрелять -3, -1 -1, -2Не стрелять -2, -10, 0 +  Тип = «Преступник»Действие шерифаСтрелятьНе стрелятьДействие подозреваемогоСтрелять0, 02, -2Не стрелять -2, -1 -1,1 Если оба имеется общее знание о рациональности игроков (игрок 1 рационален; игрок 1 знает, что игрок 2 рационален; игрок 1 знает, что игрок 2, знает, что игрок 1 рационален и т.д. до бесконечности) игра пройдёт по следующему равновесному (совершенное байесовское равновесие) сценарию:

Когда подозреваемый имеет тип «законопослушный», доминирующая стратегия для него — не стрелять, когда же он имеет тип «преступник», доминирующая стратегия предписывает ему стрелять. Сильно доминируемые стратегии можно исключить из рассмотрения. Тогда если шериф стреляет, он получает 0 с вероятностью p и -1 с вероятностью 1-p. Его ожидаемый выигрыш составляет p-1. Если шериф не стреляет, ему полагается -2 с вероятностью p и 0 с вероятностью 1-p; ожидаемый выигрыш равен -2p. Шериф всегда будет стрелять при условии p-1 > -2p, то есть когда p > 1/3.

См. также Игра с полной информацией Игра с совершенной информацией Игра с несовершенной информацией

Примечания

Литература

Категория:Теория игр * Категория:Байесовская статистика