miniatura|Graficul funcției liniare: Funcția algebrică de gradul întâi este una dintre cele mai importante funcții reale studiate în algebra elementară și în geometria analitică. Ea descrie o dependență liniară între două mărimi și are graficul reprezentat de o dreaptă în planul cartezian. În forma sa generală, o astfel de funcție se scrie
unde și sunt numere reale. Cazul conduce la o funcție constantă, iar cazul particular dă funcția liniară propriu-zisă, . Distincția dintre funcția afină, funcția de gradul I, funcția liniară și funcția constantă este una clasică în studiul funcțiilor polinomiale și al reprezentării grafice a acestora.
Funcția de gradul întâi are un rol fundamental deoarece face legătura dintre expresia algebrică și dreapta din plan. Din acest motiv, ea apare frecvent în studierea monotonicității și a semnului unei funcții, trasarea graficelor, rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor de forma întâi, analiza sistemelor de ecuații liniare cu două necunoscute, modelarea unor relații simple din fizică, economie și viața cotidiană.
Definiția funcției algebrice de gradul întâi
O funcție algebrică de gradul întâi este o funcție de forma
Coeficientul se numește coeficient director sau pantă, iar coeficientul se numește ordonata la origine, deoarece reprezintă valoarea funcției în punctul :
Prin urmare, graficul funcției intersectează axa în punctul . Intersecția cu axa se obține din ecuația , adică
Rezultă punctul de intersecție , cu condiția . Această observație permite determinarea rapidă a graficului prin două puncte distincte.
Domeniu, codomeniu și imagine
În forma standard, funcția este definită pe mulțimea numerelor reale:
Dacă , atunci pentru orice ecuația are soluția unică
de unde rezultă că imaginea funcției este tot :
Astfel, o funcție de gradul I este bijectivă. Inversa ei este tot o funcție de gradul I:
Terminologie
În literatura matematică școlară, pentru funcțiile de forma se folosesc mai multe denumiri, în funcție de valoarea coeficientului :
funcție afină — orice funcție de forma ; funcție de gradul I — funcție afină cu ; funcție liniară — funcție de gradul I cu , deci ; funcție constantă — funcție afină cu , deci .
Această clasificare este importantă deoarece fiecare caz are o interpretare geometrică distinctă:
Funcția constantă are graficul o dreaptă paralelă cu axa ; Funcția liniară are graficul o dreaptă care trece prin origine; Funcția afină generală are graficul o dreaptă care, în general, nu trece prin origine.
Reprezentarea grafică
Graficul unei funcții de gradul I este o dreaptă. Aceasta este una dintre proprietățile centrale ale clasei, iar demonstrația se poate face prin interpretarea vectorială a punctelor de pe curbă sau prin faptul că ecuația descrie exact o dreaptă neverticală în planul cartezian.
Pentru trasarea graficului sunt suficiente două puncte distincte. Cele mai convenabile sunt punctele de intersecție cu axele de coordonate: și . Cu toate acestea, dreapta se poate reprezenta rapid în planul cartezian.
Interpretarea geometrică a coeficientului director
Coeficientul determină înclinația dreptei:
Dacă , graficul este crescător de la stânga la dreapta; Dacă , graficul este descrescător de la stânga la dreapta; Cu cât este mai mare, cu atât dreapta este mai abruptă.
Din punct de vedere geometric, măsoară variația lui la o variație unitară a lui . Raportul de variație este constant:
Această constanță explică de ce funcția de gradul I este strict monotonă pe întreaga axă reală.
Variația graficului în funcție de semnul lui
Dacă , dreapta urcă spre dreapta, iar dacă , dreapta coboară spre dreapta. Acest fapt are consecințe directe asupra monotoniei funcției:
⇒ funcția este strict crescătoare; ⇒ funcția este strict descrescătoare.
Proprietăți
Monotonie
Funcția de gradul I este strict monotonă pe . Monotonia este determinată exclusiv de semnul lui : implică monotonie crescătoare, implică monotonie descrescătoare.
Continuitate și derivabilitate
Fiind un polinom de gradul întâi, funcția este continuă și derivabilă pe toată mulțimea numerelor reale. Derivata este constantă:
Aceasta explică stabilitatea pantei și faptul că graficul nu are puncte de maxim, minim sau de schimbare a concavității. În sensul analizei matematice, funcția este una dintre cele mai simple funcții continue și derivabile peste tot.
Injectivitate
Dacă , atunci funcția este injectivă. Într-adevăr, din
rezultă
Comportamentul la infinit
Pentru :
Pentru :
Aceste limite reflectă orientarea dreptei pe planul cartezian.
Semnul funcției
Semnul funcției de gradul I se determină ușor prin raportare la rădăcina ecuației , adică la punctul în care graficul intersectează axa . Dacă
, atunci:
pentru , avem , pentru , semnul se inversează.
Această proprietate este utilizată direct în rezolvarea inecuațiilor de gradul I.
Intersecția cu axele de coordonate
Intersecția cu axa
Axa are ecuația . Prin urmare, punctul de intersecție al graficului cu axa este
Acest punct este numit ordonata la origine.
Intersecția cu axa
Axa are ecuația . Intersecția cu graficul se obține din ecuația
Dacă , rezultă soluția unică
de unde punctul de intersecție este
Acest punct mai este numit și rădăcina funcției.
Exemple de intersecție
Pentru funcția :
Cu : , deci ; Cu : , deci .
Pentru funcția :
Cu : , deci ; Cu : , deci .
Cazuri particulare
Funcția liniară
Funcția liniară are forma
Graficul ei trece prin origine, deoarece . Exemple uzuale sunt:
.
Graficul lui este bisectoarea întâi a sistemului de axe, iar graficul lui este bisectoarea a doua.
Funcția constantă
Funcția constantă are forma
Graficul este o dreaptă paralelă cu axa , aflată la înălțimea . Exemple simple sunt și .
Comparație
Funcția liniară este un caz particular al funcției afine cu , iar funcția constantă corespunde lui . Din punct de vedere al variației:
Funcția constantă are pantă nulă; Funcția liniară are pantă constantă, dar trece prin origine; Funcția afină generală are pantă constantă și, în general, nu trece prin origine.
Determinarea funcției de gradul I
Din două puncte
Dacă două puncte distincte ale graficului sunt cunoscute, și , atunci coeficientul director este
Apoi termenul liber se obține din
sau din
Dintr-un punct și pantă
Dacă se cunoaște un punct de pe dreaptă și panta , atunci funcția este determinată de relația
sau, echivalent,
Din condiții suplimentare
Funcția poate fi determinată și din:
Valoarea în două puncte; Condiția de paralelism cu o axă; Condiția de a trece printr-un punct; Condiția de a avea o anumită valoare a pantei; Condiții de tip sistem liniar.
În cele mai multe exerciții, determinarea funcției devine o rezolvare a unui sistem de două ecuații cu două necunoscute.
Relația cu ecuația dreptei
În geometria analitică, o dreaptă neverticală are ecuația
Această ecuație este identică, din punct de vedere formal, cu cea a unei funcții de gradul I:
Prin urmare:
este panta dreptei; este intersecția cu axa ; este abscisa punctului de intersecție cu axa .
Dreptele verticale, de forma , nu sunt grafice ale unor funcții de forma , deoarece pentru același ar exista mai multe valori ale lui .
Poziția relativă a două drepte
Dacă două funcții de gradul I sunt
atunci intersecția graficelor lor se obține prin rezolvarea ecuației
Rezultatele posibile sunt:
O singură soluție, dacă dreptele sunt concurente; Nicio soluție, dacă dreptele sunt paralele distincte; Infinit de soluții, dacă dreptele coincid.
Exemple rezolvate
Exemplul 1
Se consideră funcția .
Intersecția cu axele: și .
Graficul este dreapta care trece prin aceste două puncte. Aria triunghiului format cu axele este
Acest tip de calcul este tipic pentru aplicațiile geometrice ale funcției de gradul I.
Exemplul 2
Se consideră funcția .
Alegând două puncte oarecare: și ,
se obține o dreaptă descrescătoare cu pantă . Acest mod de lucru ilustrează faptul că graficul este determinat de orice două puncte distincte de pe el.
Exemplul 3
Dacă și , atunci:
, de unde rezultă că .
Rezultă:
Dacă și , atunci: și , de unde , deci și .
Rezultă:
Exemplul 4
Pentru funcția pe intervale
se compară cele două expresii:
Așadar,
Graficul este format din două segmente de dreaptă care se întâlnesc în punctul . Aceasta este o aplicație tipică a funcțiilor afine pe intervale.
Aplicații
În fizică
Funcțiile de gradul I modelează dependențe de forma „valoare inițială + rată constantă de variație”, de exemplu:
Distanța parcursă în mișcare rectilinie uniformă: ; Variații liniare ale temperaturii într-un interval restrâns; Relații de calibrare între mărimi măsurate.
În economie
Ele apar în:Universitatea Babeș-Bolyai Cluj-Napoca, Facultatea de Științe Economice și Gestiunea Afacerilor, Matematici aplicate în economie, Trunchi comun, Anul I ID, semestrul I.
Cost total: ; Venit: ; Profit: .
În multe modele simple, funcția de gradul întâi exprimă costul marginal sau venitul liniar.
În statistică
Aproximarea liniară și regresia liniară simplă folosesc ideea unei funcții afine pentru a descrie tendințe generale ale datelor.
Note
Bibliografie „Matematica TC+CD” - manual de clasa a IX-a, I.V. Maftei, A.V. Mihai, M.A. Nicolescu, C.P. Nicolescu - Ed. UNIVERSAL PAN, Ed. NEDION, București, 2004 „Matematica TC+CD” - manual de clasa a IX-a, M. Ganga, Ed. MATHPRESS, Ploiești, 2008 Ghic, Grațiela, Matematici aplicate în economie : caiet de seminar, Editura Universitară, București, 2015, ISBN 978-606-28-0224-0.
Vezi și Ecuație de gradul întâi
Categorie:Funcții algebrice Categorie:Funcții matematice Categorie:Funcții polinomiale