thumb|260px|O femeie predând geometria, ilustrație după un manuscris medieval de la începutul secolului al XIV-lea
Istoria geometriei urmărește evoluția acestei științe care studiază relațiile spațiale din cele mai vechi timpuri, când oamenii au început să măsoare distanțele, ariile și volumele, ca apoi să se ajungă la geometria clasică, în care accentul era pus pe construcțiile cu rigla și compasul.
Un moment crucial l-a constituit introducerea rigorii matematice prin axiomatizarea introdusă de Euclid, care a influențat evoluția a secole întregi de știință. În epoca modernă, geometria beneficiază de aportul algebrei abstracte și a calculului diferențial și integral și a evoluat în diverse ramuri ale acesteia, cu grad înalt de abstractizare, mult diferențiate de formele din trecut.
Antichitate Debutul geometriei poate fi remarcat la acele civilizații din Valea Indusului și la babilonieni acum cinci milenii. Pe atunci totul se limita la câteva cunoștințe empirice privind lungimi, unghiuri, arii, volume necesare în construcții, astronomie, navigație și alte meșteșuguri.
Egiptenii și babilonienii cunoșteau teorema lui Pitagora cu 1500 de ani înaintea marelui geometru grec. Egiptenii știau să calculeze volumul trunchiului de piramidă, iar babilonienii aveau deja tabele trigonometrice.
Geometria Egiptului antic thumb|right|300px|O porțiune din papirusurile lui Rhind, unde sunt efectuate calcule geometrice Suprafața triunghiului Scribul a folosit un procedeu grafic de rezolvare a problemei, fiind dat un triunghi oarecare. El construiește, pornind de la baza care îi este dată, un dreptunghi care are două laturi egale cu înălțimea triunghiului. Jumătate din suprafața acestui dreptunghi este soluția căutată. (Papirusul Rhind, probl.51). Scribii știau să calculeze suprafața unui trapez (Papirusul Rhind, probl.52), ceea ce implică că ei știau să calculeze și suprafața triunghiurilor.
Suprafața cercului Cel mai mare succes al egiptenilor în domeniul geometriei este, incontestabil, calculul suprafeței cercului. Procedeul de calcul constă în a scădea 1/9 din diametru și a ridica apoi rezultatul la pătrat. Acest calcul dă pentru π valoarea de 3,1605. Figura care însoțește enunțul problemei arată că de această dată egiptenii au obținut rezultatul printr-un procedeu grafic: cercul este înscris într-un pătrat și scribul pare să fi calculat cu aproximație, folosind cele 4 triunghiuri rezultate din înscrierea cercului.(Papirusul Rhind, probl.50) În papirusurile lui Ahmes, care constituie cea mai veche lucrare matematică, se aproxima: Aria cercului ≈[ (Diametrul) x 8/9 ]2. De aici rezulta valoarea lui π ca fiind 4×(8/9)² ≈ 3.160493..., deci cu o eroare cu puțin peste 0,63%, ceva mai puțin exactă decât cea a babilonienilor care era de 25/8 = 3,125, adică 0.53%.David Wilson, The History of Pi Niciuna din acestea nu o depășea pe cea a lui Arhimede care era: 211875/67441 = 3,14163 cu o aproximație de 1 la 10.000 (!).
Volumele Egiptenii au acordat atenție acelor volume care le erau mai folositoare: piramidă, trunchiul de piramidă și cilindrul. În perioada Regatului Mijlociu, epocă în care au fost elaborate textele care ni s-au păstrat, mormântul regelui era încă o piramidă. Construirea mormântului, începută încă de la suirea pe tron a monarhului, continua în tot timpul domniei acestuia. Ea necesita nenumărați lucrători și mari cantități de materiale. Scribii aveau sarcina de a calcula dimensiunile piramidei, numărul de cărămizi necesare, fără a mai socoti toate lucrările auxiliare: căi de acces, mijloace de transport care trebuiau și ele prevăzute. Egiptenii cunoșteau modul de calcul al volumului piramidei. Una din problemele din Papirusul de la Moscova (nr14) se referă la calculul volumului trunchiului de piramidă și conduce la un rezultat exact. Se folosește formula V=h/3(a pătrat +ab+ b la pătrat). Obeliscurile, altarele, soclurile de statui nu sunt decât trunchiuri de piramide, al căror volum trebuia cunoscut în vederea extragerii, manipulării și folosirii lor. În cazul cilindrului, formula aplicată este suprafața cercului înmulțită cu înălțimea. Ea era folosită pentru aprecierea volumelor recipientelor, în majoritate de formă cilindrică sau aproape cilindrică, care erau folosite în antrepozite.
Geometria babiloniană Teorema lui Pitagora Babilonienii aveau tăblițe pur aritmetice referitoare la numerele pitagoreice. Pe celebra tăbliță de lut ars Plimpton 322 se află scrise cu litere cuneiforme un tabel de numere care s-au dovedit a fi o listă de triplete de numere pitagoreice. Un alt text presupune cunoscută relația pitagoreică între latura și diagonala unui pătrat. Există numeroase probleme geometrico-algebrice care utilizează curent relația lui Pitagora. Multe texte arată că babilonienii cunoșteau proprietatea pătratului ipotenuzei de a fi egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi
Cercul Deși de obicei operau cu valoarea π = 3., ei cunoșteau și o valoare aproximativă a lui π =3x 1/8 (adică 3,125 ). Această aproximație mult mai bună este utilizată într-o tăbliță care provine din săpăturile misiunii franceze de la Susa (1933) (cf E.M. Bruins- Quelques textes mathematiques de la mission de la Suse, în ,,Proc. Ac. Amsterdam”, 1950). Babilonienii știau să înscrie într-un cerc un hexagon cu latura egal cu raza.
Similitudinea Tăblița AO6484 cuprinde și două probleme referitoare la relațiile de similitudine în triunghiurile dreptunghice. Arii Babilonienii cunoșteau formula suprafeței pentru pătrat, dreptunghi și triunghi dreptunghic. Pentru celelalte poligoane întrebuințează formule de aproximare. Astfel, de pildă pentru patrulaterele oarecare, întâlnim formula zisă a agrimensorilor care exprimă suprafața S a patrulaterului ca produsul valorilor medii ale lungimilor laturilor opuse: a, b respectiv c, d S=1/2(a+b)x1/2(c+d) Deoarece triunghiul isoscel și trapezul isoscel permit o împărțire simplă în triunghiuri dreptunghice, pentru care are la dispoziție table cu triade pitagoreice, învățătorul babilonian construiește probleme a căror rezolvare exactă se efectuează în ,,numere raționale’’. Textul VAT7531 conține o serie de patrulatere compuse din dreptunghiuri și triunghiuri dreptunghice și numai una din aceste probleme conține un triunghi heronian, compus din două triunghiuri pitagoreice de tipuri diferite, care au o latură în comun. Geometru babilonian nu evită problemele care implică numere iraționale, de pildă rădăcini pătrate. El a studiat proprietățile poligoanelor regulate, și rezultatele la care a ajuns ne-au parvenit, atât sub formă de desene, cât și sub formă de tabele de constante numerice, pentru pătrat, pentagon și hexagon, pentru un heptagon și pentru triunghiul echilateral.
Volume Volumele cubului și paralelipipedului sunt determinate cu ajutorul formulei exacte (produsul dintre suprafața bazei și înălțimea). Pentru celelalte poliedre găsim formule de aproximare, dintre care unele par clasice pentru că le întâlnim în texte de proveniențe foarte diferite, și reluate de mai multe zeci de ori în seriile de exerciții. Astfel volumul trunchiului de piramidă este calculat cu formula V=h[(a+b/2)la puterea a doua+1/3(a-b/2)la puterea a doua]; a,b-laturile bazei mari și h înălțimea Corpurile de revoluție nu apar decât foarte rar în probleme: cilindrul este tratat ca o prismă, cu π =3; conul și trunchiul de con sunt neglijate; pentru acesta din urmă găsim aproximarea foarte rudimentară: V=1/2(S+S’)Xh Nu există o formulă pentru sferă.
Geometria greacă La greci, geometria atinge un grad înalt de dezvoltare. Au extins studiul geometric și la figuri mai complicate. Au introdus demonstrația logică în rezolvarea problemelor. Sistemul axiomatic introdus de greci este în esență valabil și astăzi.
Thales din Milet (635-543 î.Hr.) este primul căruia i se atribuie utilizarea metodei deducției. Discipolul său, Pitagora (582-496 î.Hr.), a demonstrat teorema care astăzi îi poartă numele, teoremă care era cunoscută cu secole înainte. Și elevii lui Pitagora au obținut o serie de rezultate în domeniul geometriei și amintim aici lungimile "incomensurabile" și numerele iraționale.
Marele filozof Platon (427-347 î.Hr.) avea un cult deosebit pentru geometrie. La porțile uneia din școlile sale scria: Să nu intre aici cine nu știe geometrie.
Una din concepțiile lui Platon, rămase în vigoare și astăzi, susține că la realizarea figurilor geometrice trebuie utilizate doar rigla și compasul.
Realizarea cu rigla și compasul a construcțiilor geometrice a ajuns la un înalt grad de măiestrie în această perioadă, când datează și formularea celor trei probleme celebre ale antichității: duplicarea cubului trisecțiunea unghiului cuadratura cercului.
Imposibilitatea rezolvării acestor probleme a fost dovedită abia prin secolul al XIX-lea și a condus la noi considerații teoretice privind structura numerelor reale.
Menechme (380 - 320 î.Hr.) este considerat unul dintre descoperitorii secțiunilor conice.Ken Schmarge, Conic Sections in Ancient Greece
thumb|right|200px|Statuia lui Euclid de la Oxford University Museum of Natural History
Prin lucrarea Elementele, Euclid (c. 325-265 î.Hr.) realizează o revoluție în gândirea geometrică și științifică în general: abordarea logică și riguroasă. Chiar dacă nu este primul manual de geometrie, prin introducerea gândirii axiomatice, Elementele reprezintă o lucrare cu totul nouă față de ce se scrisese până atunci.
Deși poate fi considerat și inventator și inginer, Arhimede (287-212 î.Hr.) a fost și unul dintre marii matematicieni ai antichității. Acesta a dat formula volumului sferei, a determinat centrul de greutate al triunghiului, trapezului și segmentului parabolic, a considerat curba care mai târziu îi va purta numele (spirala lui Arhimede) și a determinat diverse arii și volume mărginite de arce de parabolă sau de cuadrice de rotație. De asemenea, a introdus un fel de sistem de coordonate (ceea ce mai târziu va utiliza geometria analitică), a intuit conceptul de limită (le care va apela câteva secole mai târziu calculul diferențial și integral). Însă lucrul care l-a dezavantajat pe marele învățat al Siracuzei a fost lipsa unor notații algebrice eficiente prin care să își poată expune conceptele sale.
Apollonius (c.262 î.e.n. - c.190 î.e.n.) a studiat sistematic și profund conicele, prezentând numeroase proprietăți ale acestora.
Hiparh (190? - 120?), cel mai mare astronom al antichității, a utilizat pentru prima dată metodele trigonometrice în astronomie.Joseph Hunt, The Beginnings of Trigonometry
Epoca elenistică este o perioadă de declin în care totuși se afirmă personalitatea lui Heron din Alexandria (c. 10 - 70 d.Hr.), căruia i se atribuie formula care îi poartă numele (formula lui Heron), de calcul a ariei triunghiului atunci când cunoaștem lungimile laturilor:
unde reprezintă semiperimetrul triunghiului dat.
Ptolemeu (?120 - ?190) a studiat triunghiurile și patrulaterele situate pe sferă. Pappus din Alexandria (290 - 350) a enunțat numeroase teoreme care conțin germenii geometriei proiective de mai târziu și pe care le-a demonstrat prin considerații de statică. Proclus (410-485 d.Hr.) s-a remarcat prin comentariile la adresa operelor lui Euclid și ale altor predecesori.
Imperiul Roman, care a preluat întrega cultură și civilizație greacă a produs buni ingineri dar slabi matematicieni.
Distrugerea Bibliotecii din Alexandria a reprezentat o altă pagină neagră în istoria științei și culturii.
Geometria indiană thumb|right|250px|Text cu conținut matematic din Rig Veda scris în devanagari Scrierea Shatapatha Brahmana (secolul al IX-lea î.Hr.) conține nu numai ritualuri religioase, ci și referitoare la construcții geometrice. La fel și în textele Sulbasutra, cele mai vechi având aproape 3 milenii, găsim rețete geometrice privin construcția templelor și altarelor. Deși aveau forme diferite, toate aceste locuri de devoțiune și de ardere a ofrandelor trebuia să ocupe aceeași suprafață.