miniatura|292x292px|Teorema lui Pitagora:Suma catetelor la pătrat este egală cu ipotenuza la pătrat
260px|thumb|Animație în care este demonstrată Teorema lui Pitagora Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria euclidiană, constituind o relație între cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic. Teorema lui Pitagora afirmă că în orice triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei (latura opusă unghiului drept). Teorema poate fi scrisă sub forma unei relații între cele trei laturi a, b și c, uneori denumită relația lui Pitagora:
unde c reprezintă lungimea ipotenuzei, iar a și b lungimile celorlalte două laturi ale triunghiului.
Deși este în discuție faptul că teorema putea fi cunoscută dinaintea lui, aceasta a fost totuși denumită după matematicianul din Grecia Antică, Pitagora ( 570 – 495 î.Hr.) din moment ce el este cel care, în mod tradițional, a fost recunoscut pentru prima demonstrație a sa. Există unele dovezi cum că matematicienii babilonieni ar fi înțeles formula, dar foarte puține indică o aplicație într-un cadru de lucru matematic.. For a different view, see , where the speculation is made that the first column of tablet 322 in the Plimpton collection supports a Babylonian knowledge of some elements of trigonometry. That notion is pretty much laid to rest, however, by (pdf file ). The generally accepted view today is that the Babylonians had no awareness of trigonometric functions. See also §2, page 7. Matematicienii din Mesopotamia, India și China au descoperit teorema independent și, în unele cazuri, au oferit demonstrații în cazuri speciale.
Această teoremă a primit numeroase demonstrații – probabil cele mai multe dintre toate teoremele din matematică. Acestea sunt foarte diversificate, incluzând dovezi atât geometrice cât și algebrice, cele mai vechi datând de acum mii de ani. Teorema poate fi generalizată în diferite moduri, inclusiv prin referire la spațiile multidimensionale, spațiile neeuclidiene, triunghiuri care nu sunt dreptunghice sau chiar figuri care nu sunt triunghiuri, ci spațiale.
Teorema lui Pitagora este considerată un punct de interes în afara matematicii, constituind un simbol al incomprehensibilității matematice, al misterului, sau al puterii intelectuale; abundă referințele populare din literatură, muzică, teatru, sau artă.
Istoric
Deși teorema i se atribuie astăzi filozofului și matematicianului grec antic Pitagora, care a trăit în secolul al VI-lea î.Hr., se știe că a fost cunoscută de mai multe civilizații de-a lungul timpului: indienii antici, asiro-babilonienii, egiptenii antici, chinezii antici și alții.Pythagorean Triangles and Triples - Mathematics and the Liberal Arts
Acest subiect poate fi împărțit în trei: cunoașterea tripletelor pitagoreice (seturi de câte trei numere întregi care reprezintă lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic), cunoașterea teoremei propriu-zise și cunoașterea unor demonstrații.
Tripletele pitagoreice sunt cunoscute de foarte mult timp, ele fiind folosite pentru construirea unui unghi drept în condiții practice: o sfoară este marcată cu noduri aflate la anumite distanțe; formând din ea un triunghi (de exemplu de laturi 3, 4 și 5), acel triunghi va fi dreptunghic - metoda poate fi folosită de exemplu pentru a monta vertical catargul unui vas pe mare.
Monumente megalitice de acum 6000 de ani (în Egipt) sau 4500 de ani (în Insulele Britanice) conțin triunghiuri dreptunghice cu laturi de lungimi numere întregi, dar aceasta nu înseamnă neapărat că cei care le-au construit cunoșteau teorema. De asemenea, scrieri vechi din Regatul Mijlociu Egiptean și din Mesopotamia menționează triplete pitagoreice.
Sulba Sutra lui Baudhayana, scrisă în secolul VIII î.Hr. în India, conține o listă de triplete pitagoreice descoperite algebric, un enunț al teoremei, precum și o demonstrație pentru un triunghi dreptunghic isoscel.
Sulba Sutra lui Apastamba (circa 600 î.Hr.) conține o demonstrație numerică a cazului general, calculând arii. Unii cercetători susțin că de aici s-ar fi putut inspira Pitagora, în timpul călătoriei sale în India.
Pitagora (aproximativ 580 î.Hr. - 495 î.Hr.) a folosit metode algebrice pentru a construi triplete pitagoreice, conform lui Proclus. Acesta a scris însă între anii 410 și 485 d.Hr., adică 9 secole mai târziu. După Sir Thomas L. Heath, teorema nu i-a fost atribuită lui Pitagora timp de cinci secole după perioada în care acesta a trăit. Totuși, atunci când autori cum ar fi Plutarh și Cicero au vorbit despre teoremă ca fiind „a lui Pitagora”, au făcut-o ca și cum acesta era un lucru binecunoscut și de necontestat.
În jurul anului 400 î.Hr., conform lui Proclus, Platon a dat o metodă de a determina triplete pitagoreice care combină algebra și geometria. Există o infinitate de astfel de triplete,forma lor generală fiind x=2uv, y=u2-v2, z=u2+v2, unde u și v sunt numere naturale oarecare, cu u>v. După aproximativ 100 de ani, Euclid a dat în cadrul lucrării Elemente prima demonstrație axiomatică a teoremei.
Scris între 500 î.Hr. și 200 d.Hr., textul chinezesc Chou Pei Suan Ching (周髀算经) conține o demonstrație vizuală a teoremei.
De fapt, nu numai că nu se poate ști cine a descoperit teorema, dar cercetătorii nu se pot pune de acord nici în privința întrebării dacă a fost descoperită o singură dată, ori independent în istorie de către mai multe civilizații.
Teorema este valabilă doar în geometria euclidiană, de aceea orice demonstrație folosește (uneori indirect sau mai puțin vizibil) axioma lui Euclid.
Demonstrații thumb|Demonstrație la teorema lui Pitagora
Teorema lui Pitagora a fost cunoscută mult timp înainte de Pitagora, dar el a fost primul care a demonstrat-o.Posamentier, Alfred. The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty, p. 23 (Prometheus Books 2010). În orice mod, demonstrația atribuită lui este foarte simplă, și apelează la o rearanjare a figurilor.
Cele două pătrate mari reprezentate în figură conțin fiecare patru triunghiuri identice, iar singura diferență dintre cele două pătrate mari este faptul că triunghiurile sunt aranjate într-un mod diferit. Astfel, spațiul alb din interiorului fiecărui pătrat mare trebuie să aibă aceeași suprafață. Egalând suprafețele spațiilor albe reiese teorema lui Pitagora, c.c.t.d. Benson, Donald. The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies, pp. 172–173 (Oxford University Press, 1999).
Faptul că această demonstrație foarte simplă îi aparține lui Pitagora este dedus din scrierile filozofului și matematicianului grec Proclus.Maor, Eli. The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History, p. 61 (Princeton University Press, 2007).
Este posibil ca aceasta să fie teorema cu cele mai multe demonstrații; cartea The Pythagorean Proposition (în traducere directă Propoziția Pitagorică) conține 370 de demonstrații.
Demonstrația cu triunghiuri asemenea thumb|Demonstrația cu triunghiuri asemenea
Această demonstrație are la bază proporționalitatea laturilor a două triunghiuri asemenea, adică are în vedere faptul că raportul dintre oricare două laturi corespondente ale triunghiurilor asemenea este aceeași, indiferent de mărimea triunghiurilor.
Fie ABC un triunghi dreptunghic, cu unghiul drept aflat în punctul C, după cum se observă în figură. Se desenează înălțimea în triunghi din punctul C, astfel ca H să fie punctul de intersecție al înălțimii cu latura AB. Punctul H împarte ipotenuza c în două părți, numite d și e. Noul triunghi, ACH, este asemenea cu triunghiul ABC, deoarece ambele au un unghi drept (prin definiție, înălțimea formează un unghi drept), iar unghiul lor comun este A, ceea ce înseamnă că cel de-al treilea unghi va fi același în ambele triunghiuri, marcat θ pe figură. Printr-o rațiune similară, triunghiul CBH este și el asemenea cu triunghiul ABC. Demonstrația asemănării triunghiurilor recurge la postulatul triunghiului: suma unghiurilor într-un triunghi este egală cu două unghiuri drepte, dar și la postulatul paralelismului. Asemănarea triunghiurilor ne conduce la egalarea raporturilor dintre laturile corespondente după cum urmează:
Primul rezultat este cosinusul unghiurilor θ, iar al doilea este sinusul lor.
Raporturile pot fi scrise astfel:
Însumarea acestor două egalități rezultă în
care, prin simplificare, dă expresia teoremei lui Pitagora:
Rolul acestei demonstrații de-a lungul istorie este subiectul multor speculații. Întrebarea care ar trebui pusă este de ce Euclid nu a folosit această demonstrație, dar a inventat alta. O presupunere ar fi că demonstrația cu triunghiuri asemenea avea nevoie de teoria proporțiilor, un subiect netratat până la publicarea lucrării Elemente, astfel că teoria proporțiilor avea nevoie de o dezvoltare mai mare la aceea vreme. page 39Această demonstrație a apărut pentru prima dată după ce un program de computer a fost programat să verifice demonstrațiile euclidiene.
Demonstrația lui Euclid thumb|Demonstrație ca în Elemente a lui Euclid În mare parte, acesta este modul în care demonstrația lui Euclid din Elemente are loc. Pătratul mare este divizat în două dreptunghiuri, unul în stânga, iar altul în dreapta. Apoi, alt triunghi este construit astfel încât acesta să aibă jumătate din suprafața pătratului din partea stângă. Aceste două triunghiuri sunt congruente, ceea ce demonstrează faptul că acest pătrat are aceeași suprafață ca și dreptunghiul din stânga. O versiune analogă este valabilă și pentru dreptunghiul din partea dreaptă și pentru pătratul rămas. Recombinând cele două dreptunghiuri pentru a forma pătratul pe ipotenuză, suprafața sa este aceeași cu suma suprafețelor celor două pătrate. În continuare se află detaliile.
Fie A, B, C vârfurile unui triunghi dreptunghic, în care unghiul drept să fie A. Se trasează perpendiculara din punctul A prin ipotenuză, până pe latura opusă ipotenuzei, din pătrat. Dreapta desparte pătratul respectiv în două dreptunghiuri, fiecare având aceeași suprafață cu unul dintre pătratele de pe catete.
Pentru demonstrația formală, se recurge la patru leme elementare: Dacă un triunghi are două laturi egale cu alte două laturi ale unui alt triunghi, iar unghiurile făcute de aceste laturi sunt egale, atunci triunghiurile sunt congruente. Suprafața unui triunghi este egală cu jumătate din suprafața oricărui paralelogram de aceeași bază și cu aceeași înălțime. Suprafața unui dreptunghi este egală cu produsul a două laturi adiacente. Suprafața unui pătrat este egală cu produsul a două dintre laturile sale (se deduce din 2).
În continuare, fiecare dintre pătratele de sus se află în legătură cu un triunghi congruent cu alt triunghi aflat la rândul său în legătură cu unul dintre cele două dreptunghiuri care alcătuiesc pătratul de jos.De exemplu, vezi Teorema lui Pitagora , Saint Louis University website Java applet
thumb|Ilustrație incluzând noile drepte thumb|Reprezentarea celor două triunghiuri congruente, cu jumătate din suprafața dreptunghiului BDLK și a pătratului BAGF Demonstrația este următoarea: Fie ACB un triunghi dreptunghic cu unghiul drept CAB. Pe fiecare dintre laturile BC, AB și CA, se reprezintă pătratele CBDE, BAGF și ACIH, în această ordine. Construcția pătratelor necesită teoremele lui Euclid, și depinde de postulatul paralelismului. Din A, se trasează dreapta paralelă cu BD și CE. Aceasta va fi perpendiculară pe laturile BC și DE, iar punctele de intersecție vor fi K și L. Se trasează dreptele CF și AD, formându-se triunghiurile BCF și BDA. Unghiurile CAB și BAG sunt ambele unghiuri drepte; astfel C, A, și G sunt puncte coliniare. Analog pentru punctele B, A și H. Unghiurile CBD și FBA sunt ambele unghiuri drepte; astfel ABD este egal cu unghiul FBC, din moment ce ambele sunt egale cu suma dintre un unghi drept și unghiul ABC: Deoarece AB este egală cu FB iar BD este egală cu BC, triunghiul ABD este congruent cu triunghiul FBC.