miniatura|Primele patru aproximări Fourier pentru o undă pătrată. Seriile Fourier sunt o unealtă matematică folosită pentru a analiza funcțiile periodice descompunându-le într-o sumă ponderată de funcții sinusoidale componente care sunt uneori denumite armonice Fourier normale, sau pe scurt armonice. Printre generalizări se numără seriile Fourier generalizate.
Seriile Fourier au multe utilizări practice, pentru că manipularea și conceptualizarea coeficienților armonici sunt adesea mai ușoare decât lucrul cu funcția originală. Domeniile de aplicabilitate includ ingineria electrică, analiza undelor, acustică, optică, prelucrarea semnalelor și a imaginilor, și compresia datelor. Folosind uneltele și tehnicile spectroscopiei, de exemplu, astronomii pot deduce compoziția chimică a unei stele prin analizarea componentelor armonice, sau spectrului, stelei care emite lumină. Analog, inginerii pot optimiza proiectarea unui sistem de telecomunicații cu ajutorul informațiilor pe care le oferă componentele spectrale ale unui semnal de date pe care sistemul le transportă.
Seriile Fourier sunt numite după omul de știință și matematicianul francez Joseph Fourier, care le-a folosit în importanta sa lucrare despre conducția termică, Théorie Analytique de la Chaleur (Teoria analitică a căldurii), publicată în 1822.
Definiție Forma generală
Dată fiind o funcție cu valori complexe f de argument real t, f: R → C, unde f(t) este continuă și derivabilă pe porțiuni, periodică de perioadă T, și integrabilă la pătrat pe intervalul de lungime T dintre și , adică
unde
este perioada, si sunt limitele de integrare.
Dezvoltarea în serie Fourier a lui f este
unde, pentru orice întreg nenegativ n,
este armonica n (în radiani) a funcției f,
sunt coeficienții Fourier pari ai lui f, iar sunt coeficienții Fourier impari ai lui f.
Echivalent, în formă cu exponențiala complexă,
unde:
este unitatea imaginară, și conform cu formula lui Euler.
Forma canonică
În cazul special când perioada T = 2π, avem
În acest caz, dezvoltarea în serie Fourier se reduce la o formă deosebit de simplă:
unde
oricare ar fi un întreg nenegativ n.
sau, echivalent:
unde
Alegerea formei Forma pentru perioada T poate fi ușor derivată din cea canonică cu schimbarea de variabilă definită de . De aceea, ambele formulări sunt echivalente. Totuși, forma pentru perioada T este preferată în majoritatea cazurilor practice pentru că este direct aplicabilă. Pentru teorie, este preferată forma canonică deoarece este mai elegantă și mai ușor de interpretat matematic.
Exemple Serii Fourier simple
Fie f periodică de perioadă , cu pentru x între −π și π. Se observă că această funcție este o versiune periodică a funcției identitate.
thumb|right|350px|Graficul unei funcții identitate periodice - o undă dinți de fierăstrău. thumb|right|350px|Grafic animat cu primele cinci sume parțiale ale seriilor Fourier pentru funcția identitate periodică
Se vor calcula coeficienții Fourier pentr această funcție.
Se observă că an sunt 0 deoarece sunt funcții pare. Deci seria Fourier pentru această funcție este:
O aplicație a acestei serii Fourier este calculul funcției Riemann zeta la s = 2; Conform teoremei lui Parseval, avem:
de unde rezultă: .
Ecuația undei
Ecuația undei descrie mișcarea unei coarde vibrante, care poate fi ținuta fixă de capete. Soluția acestei probleme necesită dezvoltarea în serie trigonometrică a unei funcții generale f care dispare la capetele unui interval de la x=0 la x=L. Seria Fourier pentru o asemenea funcție ia forma
unde
Vibrațiile aerului într-o țeavă deschisă la un capăt și închisă la celălalt sunt și ele descrise de ecuația undei. Soluția ei este dată de dezvoltarea în serie Fourier a unei funcții care dispare la x = 0 și care nu mai este derivabilă la x=L. Seria sa Fourier ia forma
unde
Interpretare: descompunerea unei mișcări în rotații Seriile Fourier au o interpretare cinematică. Funcția poate fi văzută ca mișcare a unui obiect într-un plan (t reprezentând timpul). Deoarece f ia valori complexe, se poate scrie
pentru funcții cu valori reale u și v. În această formă, putem interpreta f ca sumă de translații orizontale și verticale.
De la un moment la un moment , unde dt e o perioadă incrementală mică, obiectul se mișcă de la punctul la punctul , care corespunde unei translații infinitezimale în spațiu după vectorul . Rezultă că f se poate scrie de forma:
În loc de a vedea pe f ca pe o sumă de translații infinitezimale, o putem vedea ca pe o sumă infinită de rotații cu diferite raze. Această interpretare este convenabilă, mai ales când mișcarea este periodică.
Fie rotația de n-ture pe secundă, de rază 1). Se dorește scrierea f ca . Se poate demonstra că razele de rotație (coeficienții ) sunt exact cei dați în paragraful anterior.
De exemplu, graficul funcției este închis, ceea ce înseamnă că funcția este periodică. Bucla de pe curbă sugerează că este suma a două funcții periodice, una cu o perioadă mai scurtă decât cealaltă. Într-adevăr, sepoate scrie: . Toți coeficienții săi Fourier sunt zero cu excepția și . Interpretarea grafică a unei rotații este mult mai dificil de realizat decât a translațiilor, pentru că în loc de a imagina vizual mișcarea dintr-u punct în altul, trebuie adăugată toată mișcarea pentru a avea sens descompunerea (gândirea se face în termeni de frecvență de rotație și nu de timp).
Matematic, adoptarea acestui punct de vedere reprezintă o folosire a seriilor Fourier ca pe o unealtă de înțelegere a operatorilor liniari care comută cu translația. Funcțiile sunt exact caracterele multiplicative ale grupului .
Istoric
Context Seriile Fourier au fost denumite în onoarea lui Joseph Fourier (1768-1830), care a avut importante contribuții la studiul seriilor trigonometrice, după investigații preliminare ale lui Madhava, Nilakantha Somayaji, Jyesthadeva, Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert și Daniel Bernoulli. El a aplicat această tehnică pentru a găsi soluția pentru ecuația căldurii, publicându-și rezultatele inițiale în 1807 și 1811, și publicând lucrarea Théorie analytique de la chaleur în 1822.
Dintr-un punct de vedere modern, rezultatele lui Fourier sunt puțin informale, datorită unei lipse de notație precisă a funcției și integralei la începutul secolului al XIX-lea (de exemplu, la acea vreme nu era lămurit dacă o funcție definită pe două intervale diferite cu două expresii diferite mai era tot o singură funcție). Mai târziu, Dirichlet și Riemann au exprimat rezultatele lui Fourier cu mai mare precizie și rigurozitate.
Un articol revoluționar În lucrarea lui Fourier intitulată Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides, la paginile 218 și 219, se pot citi următoarele:
Înmulțind ambele părți cu , și apoi integrând de la la rezultă:
În aceste câteva rânduri, surprinzător de apropiate de formalismul modern folosit în seriile Fourier, Fourier a revoluționat fără să vrea atât matematica cât și fizica. Deși serii trigonometrice similare mai fuseseră folosite anterior de Euler, d'Alembert, Daniel Bernoulli și Gauss, Fourier a fost primul care a recunoscut că astfel de serii trigonometrice pot reprezenta funcții arbitrare, chiar și funcții cu discontinuități. A trebuit să treacă mulți ani pentru a clarifica această idee, care a condus la importante teorii asupra convergenței, spațiilor de funcții, și analizei armonice.
Lucrarea lui Fourier a fost atât de originală încât, când a trimis-o în 1807, comisia (compusă din alți mari matematicieni ca Lagrange, Laplace, Malus și Legendre, printre alții) a concluzionat: ...maniera în care autorul ajunge la aceste ecuații nu este una scutită de dificultăți și analiza sa încă lasă de dorit la capitolele generalitate și chiar rigoare.
Nașterea analizei armonice Din vremea lui Fourier până astăzi au fost descoperite multe alte abordări ale definirii și înțelegerii conceptului de serie Fourier, toate fiind corecte și echivalente matematic, dar fiecare punând accent pe alte aspecte ale subiectului. Unele dintre cele mai elegante și mai puternice abordări sunt bazate pe idei și unelte matematice care nu erau disponibile la momentul când Fourier și-a terminat lucrarea. Fourier a definit inițial seriile Fourier pentru funcții reale de argument real, și folosindu-se de funcțiile sinus și cosinus ca bază a descompunerii.
Multe alte transformări de tip Fourier au mai fost definite, extinzând cu alte noi aplicații ideea inițială de reprezentare a oricărei funcții periodice ca suprapunere de armonice. Această arie generală de studiu este uneori numită analiză armonică.
Derivări moderne ale coeficienților Fourier Metoda lui Fourier de calcul al coeficienților seriei este foarte practică și potrivită problemei pe care o tratează (propagarea căldurii). Totuși, această metodă a fost generalizată între timp la o clasă mult mai largă de probleme: scrierea unei funcții ca sumă de funcții periodice.
Mai exact, dacă f:R → C este o funcție, am vrea să scriem această funcție ca sumă de funcții trigonometrice, i.e. . Variantele de alegere a funcțiilor trebuie să fie restrânse pentru ca descompunerea să aibă sens. În primul rând, dacă f este de perioadă T, atunci prin schimbarea variabilelor, se poate studia de perioadă 2π. Aceasta simplifică mult notația și permite utilizarea unei forme standard (canonice). Putem restrânge astfel studiul funcțiilor la orice interval de lungime 2π, cum ar fi [-π,π].
Luând funcția f:R → C din mulțimea celor continue pe porțiuni, funcții periodice de perioadă 2π cu . De fapt, se iau funcții din spațiul Lp L2(μ), unde μ este măsura Lebesgue normalizată a intervalului [-π,π] (astfel încât .
Coeficienți Fourier complecși
Putem transforma L2(μ) într-un spațiu Hilbert, ceea ce este potrivit pentru proiecții ortogonale, prin definirea produsului scalar:
unde reprezintă conjugata lui f(x). Vom nota cu norma asociată.
este o bază ortonormală din L2(μ), deci se poate scrie
De regulă se definește . Aceste numere se numesc coeficienți Fourier complecși. Expresia lor este
O formulare echivalentă este scrierea f ca sumă de funcții sinus și cosinus.
Coeficienți Fourier reali
Suma din secțiunea anterioară este simetrică în raport cu 0: într-adevăr, cu excepția lui n = 0, un coeficient c−n corespunde fiecărui coeficientcn. Astfel ne amintim de formulele
Astfel se pot exprima serii Fourier cu funcții cu valori reale. Pentru a face aceasta se observă că
După înlocuirea lui cn cu expresia sa și simplificarea rezultatului, obținem
Dacă pentru un număr întreg nenegativ n, definim coeficienții Fourier reali an și bn prin
obținem:
Proprietăți
Următoarele proprietăți se deduc din formula lui Euler:
și și
Dacă f este o funcție impară, atunci oricare ar fi pentru că este tot pară, deci integrala sa pe intervalul este zero. Dacă f este o funcție pară, atunci dintr-un motiv similar.
Dacă f este continuă pe porțiuni, , , și
Dacă f este continuu diferențiabilă de k ori pe porțiuni, atunci se pot calcula ușor coeficienții Fourier ai lui din cei ai lui f:
unde este derivata de ordin k a lui f.
Oricare ar fi un întreg pozitiv al lui k, dacă f este Ck − 1 și Ck pe porțiuni, atunci pentru că
Aceasta înseamnă că seria este rapid descrescătoare.
Cazul general Seriile Fourier exploatează periodicitatea funcției f dar dacă f este periodică în mai multe variabile, sau chiar f neperiodică? Aceste probleme i-au condus pe matematicieni și pe fizicienii teoreticieni să încerce să definească seriile Fourier pe orice grup G. Avantajul este, de exemplu, definirea seriilor Fourier pentru funcții de mai multe variabile. Seriile Fourier și transformata Fourier folosite în prelucrarea semnalelor devin astfel cazuri speciale ale acestei teorii și sunt mai ușor de interpretat.