O diferență finită este o expresie matematică de forma Diferențele finite sunt adesea folosite ca aproximări ale derivatelor, cum ar fi în derivarea numerică.
Operatorul diferență, notat în mod obișnuit cu este operatorul care aplică o funcție pe funcția definită de:
O ecuație cu diferențe este o care implică operatorul diferență finită în același mod în care o ecuație diferențială implică derivate. Există multe asemănări între ecuațiile cu diferențe și ecuațiile diferențiale. Anumite relații de recurență pot fi scrise ca ecuații cu diferențe prin înlocuirea notației iterative cu diferențe finite.
În analiza numerică diferențele finite sunt utilizate pe scară largă pentru aproximarea derivatelor, iar termenul „diferență finită” este adesea folosit ca abreviere pentru „aproximarea derivatelor cu diferențe finite”.
Diferențele finite au fost introduse de Brook Taylor în 1715 și au fost studiate ca obiecte matematice abstracte și independente în lucrări de George Boole (1860), L. M. Milne-Thomson (1933) și Károly Jordan (1939). Diferențele finite își au originile într-unul dintre algoritmii lui Jost Bürgi (c. 1592) și în lucrări ale altora, inclusiv Isaac Newton. Calculul formal al diferențelor finite poate fi considerat o alternativă la calculul infinitezimal. Jordan, op. cit., p. 1 and Milne-Thomson, p. xxi. Milne-Thomson, Louis Melville (2000): The Calculus of Finite Differences (Chelsea Pub Co, 2000)
Tipuri fundamentale thumb|upright=1.5|Cele trei tipuri de diferențe finite. Diferența centrală în jurul lui oferă cea mai bună aproximare a derivatei funcției în Trei tipuri fundamentale sunt luate în considerare în mod obișnuit: diferențe finite înainte, înapoi și centrale.
Diferența înainte a funcției , notată este funcția definită ca:
În funcție de aplicație, intervalul poate fi variabil sau constant. Când nu este specificat, valoarea implicită pentru este 1, adică:
Diferența înapoi folosește valorile funcției în și în loc de valorile și :
Diferența centrală este dată de:
Relația cu derivatele Aproximarea derivatelor prin diferențe finite joacă un rol central în metoda diferențelor finite pentru soluția numerică a ecuațiilor diferențiale, în special a problemelor cu valori la limită.
Derivata funcției în punctul este definită prin limita
Dacă are o valoare fixă (diferită de zero) în loc să se apropie de zero, atunci partea dreaptă a ecuației de mai sus ar fi scrisă:
Prin urmare, raportul dintre diferența înainte și aproximează derivata atunci când este mică. Eroarea în această aproximare poate fi obținută din . Presupunând că este de două ori derivabilă, se obține:
Aceeași formulă este valabilă și pentru diferența înapoi:
Însă, diferența centrală oferă o aproximare mai precisă. Dacă este de trei ori derivabilă,
Principala problemă a metodei diferențelor centrale este însă că funcțiile oscilante pot produce derivate nule. Dacă pentru impar și pentru par, atunci dacă este calculată cu schema diferenței centrale. Acest lucru este deosebit de problematic dacă domeniul lui este discret.
Diferențe de ordin superior Analog se pot obține aproximări cu diferențe finite pentru derivate de ordin superior și operatori diferențiali. De exemplu, utilizând formula diferenței centrale de mai sus pentru și și aplicând o formulă a diferenței centrale pentru derivata lui la , se obține aproximarea diferenței centrale a derivatei de ordinul al doilea a lui : De ordinul al doilea centrală
Similar, se pot aplica alte formule cu diferențe într-o manieră recursivă. De ordinul al doilea înainte
De ordinul al doilea înapoi
Mai general, diferențele de ordinul al -lea înainte, înapoi și centrale sunt, respectiv: Înainte
Înapoi
Centrală
Aceste ecuații folosesc coeficienți binomiali după semnul de sumare, afișat ca Fiecare rând al triunghiului lui Pascal dă coeficientul pentru fiecare valoare a lui
De reținut că diferența centrală pentru numere impare va avea înmulțit cu numere neîntregi. Aceasta este adesea o problemă, deoarece echivalează cu modificarea intervalului de discretizare. Problema poate fi remediată prin substituirea mediei dintre și
Diferențele înainte aplicate unui șir sunt uneori numite a șirului și au o serie de proprietăți combinatorice interesante. Diferențele înainte pot fi calculate folosind . Reprezentarea integralei pentru aceste tipuri de serii este interesantă, deoarece integrala poate fi adesea evaluată folosind tehnici de sau tehnici pentru puncte șa. Însă seria de diferențe înainte poate fi foarte dificil de calculat numeric, deoarece coeficienții binomiali cresc rapid pentru mari.
Relația dintre aceste diferențe de ordin superior și derivatele respective este simplă:
Diferențele de ordin superior pot fi utilizate pentru a face aproximări mai bune. Așa cum s-a menționat mai sus, diferența de ordinul întâi aproximează derivata de ordinul întâi până la un termen de ordinul . Însă combinația
aproximează până la un termen de ordinul Acest lucru poate fi demonstrat prin dezvoltarea expresiei de mai sus în serie Taylor sau prin utilizarea calculului diferențelor finite, prezentat mai jos.
Dacă este necesar, diferența finită poate fi centrată în jurul oricărui punct prin combinarea diferențelor înainte, înapoi și centrală.
Uneori derivatele de ordin inferior ale unei funcții pot fi cunoscute analitic, dar derivatele de ordin superior nu sunt. În aceste cazuri, derivatele de ordin superior pot fi aproximate prin diferența finită a derivatelor de ordin inferior, ceea ce este adesea mai precis și numeric mai stabil decât diferența finită a funcției în sine. Aceasta se numește uneori diferențiere seminumerică. De exemplu, atunci când derivata de ordinul întâi este disponibilă, dar derivata de ordinul al doilea nu este, aceasta din urmă poate fi aproximată prin diferența centrală de ordinul al doilea a lui :
În ecuații diferențiale
O aplicație importantă a diferențelor finite este în analiza numerică, în special în metodele numerice de rezolvare a ecuațiilor diferențiale, care vizează rezolvarea numerică a celor ordinare și a celor cu derivate parțiale. Ideea este de a înlocui derivatele care apar într-o ecuație diferențială cu diferențele finite care le aproximează. Metodele rezultate se numesc metoda diferențelor finite.
Aplicațiile comune ale metodei diferențelor finite se găsesc în informatică și în disciplinele inginerești, cum ar fi termotehnica, mecanica fluidelor etc.
Seriile lui Newton O serie Newton constă din termenii ecuației cu diferențe finite înainte a lui Newton, numită astfel după Isaac Newton. În esență este formula de interpolare Gregory–Newton Burkard Polster/Mathologer (2021). " Why don't they teach Newton's calculus of 'What comes next?' " on YouTube (nunită astfel după Isaac Newton și James Gregory), publicată pentru prima oară în Principia Mathematica în 1687, Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1 și anume, analoaga discretă a dezvoltării în serie Taylor continuă:
care este valabilă pentru orice funcție polinomială și pentru multe (dar nu toate) funcțiile analitice. (Nu este valabilă atunci când este o funcție exponențială de tip . Acest lucru se observă ușor, deoarece funcția sinusoidală se anulează la multipli întregi ai Seria Newton corespunzătoare este identică zero, deoarece toate diferențele finite sunt zero în acest caz. Totuși, este clar că funcția sinusoidală nu este zero.) Aici, expresia
este coeficientul binomial, iar
este , în timp ce este definit ca fiind 1. În acest caz particular există o presupunere de pași unitate pentru modificările valorilor ale generalizării de mai jos.
De notat corespondența formală a acestui rezultat cu teorema lui Taylor. Din punct de vedere istoric, aceasta, precum și ,
(care decurg din aceasta și corespund binomului lui Newton), sunt cuprinse în observațiile care s-au maturizat până la sistemul de .
Dezvoltările în serie Newton pot fi superioare dezvoltărilor în serie Taylor atunci când sunt aplicate unor mărimi discrete precum spinii cuantici, funcțiile operatorilor bosonici sau statisticile de numărare discretă.
Pentru a ilustra cum se poate utiliza formula lui Newton în practică, fie primii termeni ai dublului termenilor din șirului Fibonacci Se poate găsi un polinom care reproduce aceste valori, calculând mai întâi un tabel de diferențe și apoi înlocuind diferențele care corespund lui (subliniat) în tabel, după cum urmează:
Pentru cazul pașilor neuniformi în valorile lui , Newton calculează diferențele divizate,
șirul de produse,
iar polinomul rezultat este produsul scalar: Richtmeyer, D. and Morton, K.W., (1967). Difference Methods for Initial Value Problems, 2nd ed., Wiley, New York.
În analiza cu , afirmă că presupunerea că este o funcție polinomială poate fi slăbită până la presupunerea că este doar continuă.
oferă condiții necesare și suficiente pentru ca o serie Newton, dacă există, să fie unică. Totuși, o serie Newton nu există în general.
Seria Newton, împreună cu seria Stirling și seria Selberg, reprezintă un caz particular al seriei generale de diferențe, toate fiind definite în termeni de diferențe înainte scalate corespunzător.
Într-o formă comprimată, puțin mai generală și cu noduri echidistante, formula devine:
Calculul cu diferențe finite Diferența înainte poate fi considerată un operator care aplică funcția pe . Also, a Dover reprint edition, 1960. Acest operator are următoarea valoare: unde este cu pasul , definit prin iar este operatorul identitate.
Diferența finită de ordin superior poate fi definită recursiv ca Altă definiție echivalentă este
Operatorul diferență este un operator liniar, care deci satisface
De asemenea, satisface privind derivarea funcțiilor compuse:
Reguli similare ale lui Leibniz sunt valabile și pentru diferențele înapoi și centrale.
Aplicând formal seria Taylor în raport cu , se obține ecuația operatorului:
unde este operatorul de derivare convențional, continuu, care aplică pe derivata Dezvoltarea este validă atunci când ambele părți acționează asupra funcțiilor analitice pentru suficient de mic; în cazul particular în care șirul de derivate se termină (când funcția asupra căreia se operează este un polinom finit), expresia este exactă, pentru toate dimensiunile finite ale pașilor Astfel, Logaritmând exponențiala rezultă:
Această formulă este valabilă în sensul că ambii operatori dau același rezultat atunci când sunt aplicați unui polinom.
Chiar și pentru funcțiile analitice, seria din dreapta nu este garantat convergentă; poate fi o . Totuși, poate fi utilizată pentru a obține aproximări mai precise pentru derivată. De exemplu, păstrarea primilor doi termeni ai seriei produce aproximarea de ordinul al doilea la
Formulele analoage pentru operatorii de diferență înapoi și centrală sunt:
Calculul diferențelor finite este legat de calculul umbral al combinatoricii. Această corespondență remarcabil de sistematică se datorează identității mărimilor umbrale cu analogii lor continui (limite pentru ),
Un număr mare de relații diferențiale formale ale calculului standard care implică funcții se aplică sistematic la analogii umbrali cu diferențe finite care implică
De exemplu, analogul umbral al unui monom este o generalizare a factorialului descrescător de mai sus (),
astfel încât
prin urmare, formula de interpolare Newton de mai sus (prin potrivirea coeficienților în dezvoltarea unei funcții arbitrare în astfel de simboluri) și așa mai departe.
De exemplu, sinusul umbral este:
Ca și în cazul , a lui este, de asemenea, o exponențială,
prin urmare sumele Fourier ale funcțiilor continue sunt ușor și fidel aplicate pe sume Fourier umbrale, adică implică aceiași coeficienți Fourier care înmulțesc aceste exponențiale de bază umbrale. Această exponențială umbrală se echivalează astfel cu funcția generatoare exponențială a simbolurilor Pochhammer.
Astfel, de exemplu, funcția lui Dirac se aplică pe corespondentul său umbral, (sinus cardinal):