Acest articol este un rezumat al regulilor de derivare, adică reguli pentru calculul derivatei unei funcții în calcul diferențial.
Reguli elementare de derivare Cu excepția cazului în care se precizează altfel, toate funcțiile sunt funcții de numere reale () care returnează valori reale, deși, mai general, formulele de mai jos se aplică oriunde sunt bine definite,Calculus (ediția a 5-a), F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, .Advanced Calculus (ediția a 3-a), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, . inclusiv în cazul numerelor complexe ().Complex Variables, M.R. Spiegel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (SUA), 2009,
Regula constantei Pentru orice valoare a lui , unde , dacă este funcția constantă dată de , atunci .
Demonstrație Fie și . Prin definiția derivatei:
Acest calcul arată că derivata oricărei funcții constante este 0.
Explicație intuitivă (geometrică) Derivata unei funcții într-un punct este panta dreptei tangente la curbă în acel punct. Panta funcției constante este 0, deoarece tangenta la funcția constantă este orizontală și are unghiul 0.
Cu alte cuvinte, valoarea funcției constante, , nu se va schimba pe măsură ce valoarea lui crește sau scade.
Linearitatea derivării Pentru orice funcții și și orice numere reale și , derivata funcției în raport cu este .
În notația lui Leibniz, formula se scrie:
Cazuri speciale includ: Regula factorului constant:
Regula sumei:
Regula diferenței:
Regula produsului Pentru funcțiile și , derivata funcției în raport cu este:
În notația lui Leibniz, formula se scrie:
Regula funcțiilor compuse Derivata funcției este:
În notația lui Leibniz, formula se scrie astfel:
adesea prescurtat la:
Privind noțiunea de aplicații, iar diferențiala fiind o aplicație , această formulă se scrie mai concis astfel:
Regula funcției inverse Dacă funcția are o funcție inversă , adică și , atunci:
În notația lui Leibniz, formula se scrie astfel:
Legi de puteri, polinoame, rapoarte și reciproce Regula puterii pentru polinoame sau puteri elementare Dacă , pentru orice număr real , atunci:
Când , această formulă devine cazul special în care, dacă , atunci .
Combinarea regulii puterii cu regulile sumei și factorului constant permite calculul derivatei oricărui polinom.
Regula reciprocei Derivata lui pentru orice funcție (nenulă) este:
oriunde este nenulă.
În notația lui Leibniz, formula se scrie:
Regula reciprocei poate fi dedusă fie din regula raportului, fie din combinația dintre regula puterii și regula lanțului.
Regula raportului Dacă și sunt funcții, atunci:
oriunde este nenulă.
Aceasta poate fi dedusă din regula produsului și regula reciprocului.
Regula puterii generalizată Regula elementară a puterii se generalizează considerabil. Cea mai generală regulă a puterii este regula funcțională a puterii: pentru orice funcții și ,
oriunde ambele părți sunt bine definite.
Cazuri speciale: Dacă , atunci când este orice număr real nenul și este pozitiv. Regula reciprocului poate fi dedusă ca un caz special în care .
Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice
Ecuația de mai sus este adevărată pentru toate , dar derivata pentru dă un număr complex.
Ecuația de mai sus este, de asemenea, adevărată pentru toate , dar dă un număr complex dacă .
unde este funcția Lambert W.
Derivate logaritmice Derivata logaritmică este un alt mod de a exprima regula de derivare a logaritmului unei funcții (folosind regula lanțului):
oriunde este pozitivă.
Derivare logaritmică este o tehnică ce folosește logaritmi și regulile lor de derivare pentru a simplifica anumite expresii înainte de aplicarea propriu-zisă a derivatei.
Logaritmii pot fi folosiți pentru a elimina exponenții, pentru a transforma produsele în sume și pentru a transforma împărțirea în scădere — fiecare dintre acestea putând duce la o expresie mai simplă pentru derivare.
Derivate ale funcțiilor trigonometrice
Derivatele din tabelul de mai sus sunt pentru cazul în care domeniul de valori al secantei inverse este și în care domeniul de valori al cosecantei inverse este .
Este obișnuit să se definească și o funcție tangentă inversă cu două argumente, . Valoarea ei se află în intervalul și reflectă cadranul punctului . Pentru primul și al patrulea cadran (adică ), avem . Derivatele ei parțiale sunt:
Derivate ale funcțiilor hiperbolice
Derivate ale funcțiilor speciale Funcția gamma
cu fiind funcția digamma, exprimată prin expresia din paranteză din dreapta lui în linia de mai sus.
Funcția zeta a lui Riemann
Derivate ale integralelor Să se derive în raport cu funcția:
unde funcțiile și sunt ambele continue în raport cu și într-o anumită regiune a planului , incluzând , unde , iar funcțiile și sunt ambele continue și au ambele derivate continue pentru . Atunci, pentru :
Această formulă este forma generală a regulii lui Leibniz pentru integrale și poate fi dedusă folosind teorema fundamentală a calculului integral.
Derivate de ordinul n Există reguli pentru calculul derivatei de ordinul a funcțiilor, unde este un număr întreg pozitiv, inclusiv:
Formula lui Faà di Bruno Dacă și sunt de ori derivabile, atunci:
unde și mulțimea constă din toate soluțiile întregi nenegative ale ecuației diofantice .
Regula generală a lui Leibniz Dacă și sunt de ori derivabile, atunci:
Note
Lectură suplimentară Aceste reguli se găsesc în multe cărți, atât de calcul diferențial elementar, cât și avansat, în matematică pură și aplicată. S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Mathematical Handbook of Formulas and Tables (ediția a 3-a), Schaum's Outline Series, 2009, . G. Woan, The Cambridge Handbook of Physics Formulas, Cambridge University Press, 2010, . K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, 2010, F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, .
Legături externe
Calculator de derivate cu simplificarea formulei Tabelul derivatelor cu demonstrații animate