În calculul diferențial derivarea unui raport de funcțiiEugenia Paulescu, Calcul diferențial (curs, 2011), Universitatea de Vest din Timișoara, accesat 2023-06-04, p. 19 este formula folosită pentru a găsi derivata raportului a două funcții derivabile. Fie , unde ambele   și sunt derivabile, iar Regula derivării unui raport afirmă că derivata lui este

Regula poate fi demonstrată în mai multe feluri folosind alte reguli de derivare.

Exemple Exemplul 1: Exemplu tipic Fie și Folosind regula derivării raportului se obține:

Exemplul 2: Derivarea funcției tangentă (trigonometrică)

Regula derivării raportului poate fi folosită pentru calculul derivatei lui astfel:

Derivarea inversei unei funcții

Regula Derivării inversei unei funcții este un caz particular al regulii derivării unui raport, în care numărătorul Aplicarea regulii derivării raportului dă:

Folosind regula derivării funcțiilor compuse se obține același rezultat.

Demonstrații Prin limită ca definiție a derivatei Fie Aplicarea definiției derivatei și proprietăților limitelor oferă următoarea demonstrație, cu termenul adăugat și scăzut pentru a permite împărțirea și factorizarea în pașii următori fără a afecta valoarea:

Evaluarea limitei este justificată de derivabilitatea lui implicând continuitatea, care poate fi exprimată ca:

Prin derivarea implicită Fie astfel încât

Regula derivării produsului este

Calculând și substituind înapoi în se obține:

Prin derivarea inversei sau a funcțiilor compuse Fie

Atunci regula derivării produsului este

Pentru a calcula derivata din al doilea termen, se aplică regula derivării inversei unei funcții împreună cu regula derivării funcțiilor compuse:

Substituind rezultatul în expresia lui se obține:

Prin derivata logaritmică Fie

Luând valoarea absolută și logaritmul natural al ambilor membri se obține

Se aplică proprietățile valorii absolute și ale logaritmilor,

Se efectuează a ambilor membri,

Se calculează și se substituie înapoi în Pentru se obține:

La derivata logaritmică este necesară luarea valorii absolute a funcțiilor care pot avea valori negative, deoarece logaritmii sunt doar funcții reale pentru argumente pozitive. Acest lucru funcționează pentru că ceea ce justifică luarea valorii absolute a funcțiilor pentru derivata logaritmică.

Derivate de ordin superior Derivarea implicită poate fi utilizată pentru a calcula derivata de ordinul al -lea a unui raport (parțial în funcție de primele sale derivate). De exemplu, derivând de două ori (rezultând ) și apoi calculând rezultă:

Note

Vezi și Derivarea funcțiilor compuse Derivarea inversei unei funcții Derivarea unui produs Identitățile calculului vectorial

Categorie:Calcul diferențial Categorie:Teoreme de calcul diferențial și integral Categorie:Articole care conțin demonstrații