În matematică, mai exact în , un ideal minimalMihai Cipu Module noetheriene și module artiniene (curs, p. 39), Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române, accesat 2023-11-02 al unui inel R este un ideal bilateral nenul care nu conține niciun alt ideal bilateral nenul. De asemenea, un ideal minimal stâng este un ideal stâng nenul al lui R care nu conține alte ideale stângi nenule ale lui R, iar un ideal minimal drept al lui R este un ideal nenul care nu conține alte ideale drepte nenule ale lui R.Isaacs, 2009, p. 190
Definiție Definiția unui ideal minimal drept N al unui inel R este echivalentă cu următoarele condiții: N este nenul și dacă K este un ideal drept al lui R cu , atunci fie fie . N este un R- drept.
Idealele minimale drepte/stângi/bilaterale sunt noțiunea duală a idealelor maximale.
Proprietăți Multe proprietăți ale idealelor minimale pot fi găsite în texte standard, cum ar fi:Anderson, Fuller, 1992Isaacs, 2009Lam, 1999Lam, 2001 Într-un inel cu unitate există întotdeauna ideale maximale drepte. Prin contrast, într-un inel cu unitate nu trebuie să existe ideale minimale drepte, stângi sau bilaterale. Soclul unui inel este o structură importantă definită în termenii idealelor drepte minimale ale lui R. Inelele pentru care fiecare ideal drept conține un ideal drept minimal sunt chiar inelele cu un soclu drept esențial. Orice inel artinian drept sau inel Kasch drept are un ideal minimal drept. Domeniile care nu sunt corpuri nu au ideale minimale drepte. În inelele cu unitate, idealele drepte minimale sunt în mod necesar ideale principale drepte, deoarece pentru orice x nenul dintr-un ideal minimal drept N, mulțimea xR este un ideal drept nenul al lui R în interiorul lui N, deci . Lema lui Brauer: Orice ideal minimal drept N dintr-un inel R satisface } sau pentru un e din R.Lam, 2001, p. 162 Dacă N1 și N2 sunt ideale minimale drepte neizomorfe ale lui R, atunci produsul Dacă N1 și N2 sunt idealuri minimale distincte ale unui inel R, atunci Un inel simplu cu un ideal minimal drept este un inel semisimplu. Într-un inel semiprim există un ideal minimal drept dacă și numai dacă există un ideal minimal stâng.Lam, 2001, p. 174
Note
Bibliografie
Legături externe
Minimal ideal
Minimal Categorie:Teoria inelelor