În matematică, în special în , fiecare operator liniar peste un spațiu vectorial euclidian definește un operator adjunct peste acel spațiu conform regulii:
Unde este produsul scalar al spațiului vectorial.
Adjunctul mai poate fi numit și conjugat, iar cei care sunt propriul adjunct se numesc hermitici, după Charles Hermite. Adjunctul se notează adesea cu în domenii precum fizica, mai ales atunci când este utilizat împreună cu notația bra-ket în mecanica cuantică. În dimensiunile finite în care operatorii sunt reprezentați prin matrice, adjunctul este dat de conjugata transpusă.
Definiția de mai sus a unui operator adjunct se extinde verbatim la peste spațiile Hilbert . Definiția a fost extinsă în continuare pentru a include operatori nemărginiți al căror domeniu este dens din punct de vedere topologic în dar nu neapărat egal cu
Definiție informală Fie o aplicație liniară între două spații Hilbert. Făcând abstracție de detalii, operatorul adjunct este operatorul liniar (în cele mai multe cazuri definit în mod unic). care îndeplinește condiția
Unde este produsul scalar din spațiul Hilbert , care este liniar în prima coordonată și în a doua coordonată. Se observă cazul special în care ambele spații Hilbert sunt identice și este un operator pe acel spațiu Hilbert.
Când se produsul scalar este înlocuit cu împerecherea duală, se poate defini adjunctul, numit și , al unui operator , Unde sunt spatii Banach cu norme corespunzatoare . Aici (din nou, fără a lua în considerare detaliile), operatorul său adjunct este definit ca cu
adica pentru .
Definiția de mai sus în contextul spațiului Hilbert este de fapt doar o aplicație a cazului spațiului Banach atunci când se identifică un spațiu Hilbert cu dualul său. Atunci este firesc să se poată obține și adjunctul unui operator , Unde este un spațiu Hilbert și este un spațiu Banach. Dualul este atunci definit ca cu astfel încât
Definiție pentru operatori nemărginiți între spații Banach Fie spațiile Banach . Fie și , cu un operator liniar (posibil nemărginit) (adică, este dens în ). Atunci adjunctul său este definit după cum urmează. Domeniul este
.
Acum, pentru un arbitrar, dar fix, se stabilește cu . Prin alegerea lui și definiția lui , este (uniform) continuă pe deoarece . Atunci, prin sau, alternativ, prin extensie prin continuitate, rezultă o extensie a lui , numită definită pe tot . Această tehnică este necesară pentru a se obține ulterior ca operator în loc de Se observă și că aceasta nu înseamnă că poate fi extinsă pe orice dar extensia funcționează doar pentru anumite elemente .
Acum se poate defini adjunctul lui drept
Identitatea fundamentală definitorie este astfel
pentru
Definiția pentru operatori mărginiți între spații Hilbert Presupunem că este un spațiu Hilbert complex, cu produs scalar . Considerăm un operator liniar continuu (pentru operatorii liniari, continuitatea este echivalentă cu ). Atunci adjunctul lui este operatorul liniar continuu care satisface condiția
Existența și unicitatea acestui operator rezultă din .;
Aceasta poate fi văzută ca o generalizare a matricei adjuncte a unei matrice pătrate care are o proprietate similară care implică produsul interior complex standard.
Proprietăți Următoarele proprietăți ale adjunctului de sunt imediate: ;
Involutivitate : Dacă este inversabilă, atunci la fel este , cu
, unde cu se notează conjugatul complex al numărului complex „Anti-distributivitate”:
Dacă definim prin
atunci
Mai mult,
Se spune că o normă care satisface această condiție se comportă ca „valoarea cea mai mare”, extrapolând din cazul operatorilor autoadjuncți.
Mulțimea operatorilor liniari mărginiți pe un spațiu Hilbert complex împreună cu operația adjunctă și norma operatorului formează prototipul unei .
Adjunctul de operatori nemărginiți dens definiți între spațiile Hilbert
Definiție Fie produsul scalar liniar în primul argument. Un operator între un spațiu Hilbert complex și el însuși este un operator liniar al cărui domeniu este un dens al lui și ale cărui valori se află în .See for details. Prin definiție, domeniul al adjunctului său este mulțimea tuturor pentru care există un care satisface condiția
Datorită densității lui și , este definit în mod unic și, prin definiție, ;
Proprietăți 1.–5. rămân valabile cu clauze adecvate despre domenii și codomenii. De exemplu, ultima proprietate afirmă acum că este o extensie a lui dacă , și sunt operatori dens definiți.
ker A = (im A) Pentru orice funcționala liniară este identic zero și, prin urmare
Reciproc, presupunerea că dacă rezultă că funcționala este identic zero. Deoarece funcționala este în mod evident mărginită, definiția lui asigură că Faptul că, pentru fiecare demonstrează că dat fiind că este dens.
Această proprietate arată că este un subspațiu închis topologic chiar și atunci când nu este.
Interpretare geometrică Dacă și sunt spații Hilbert, atunci este un spațiu Hilbert cu produsul scalar
Unde și
Fie , de exemplu Atunci graficul
al lui este complementul ortogonal al lui
Afirmația rezultă din echivalențele
și
Corolare
A este închis Un operator este închis dacă graficul este închis topologic în Graficul al operatorului adjunct este complementul ortogonal al unui subspațiu și, prin urmare, este închis.
A este dens definit ⇔ A este nemărginit Un operator este nemărginit dacă închiderea topologică a graficului este graficul unei funcții. Întrucât este un subspațiu liniar (închis), cuvântul „funcție” poate fi înlocuit cu „operator liniar”. Pentru același motiv, este nemărginit dacă și numai dacă cu condiția
Adjunctul este dens definit dacă și numai dacă este nemărginit. Aceasta rezultă din faptul că, pentru orice
ceea ce, la rândul său, se demonstrează prin următorul lanț de echivalențe:
A = A Închiderea a unui operator este operatorul al cărui grafic este dacă acest grafic reprezintă o funcție. Ca mai sus, cuvântul „funcție” poate fi înlocuit cu „operator”. În plus, ceea ce înseamnă că
Pentru a demonstra acest lucru, se observă că adică pentru orice Într-adevăr,
În special, pentru orice și orice subspațiu dacă și numai dacă Prin urmare, și Înlocuind se obține
A = (A) Pentru un operator nemărginit ceea ce înseamnă că Într-adevăr,
Contraexemplu în care adjunctul nu este dens definit Fie unde este măsura liniară. Se alege o funcție măsurabilă, mărginită, neidentic zero și Se definește
Rezultă că Subspațiul conține toate funcțiile cu suport compact. Întrucât este dens definit. Pentru orice și
Prin urmare, Definiția operatorului adjunct necesită ca Întrucât acest lucru este posibil numai dacă Din acest motiv, Prin urmare, nu este dens definit și este identic zero pe Ca urmare, este nemărginit și nu are al doilea adjunct
Operatori hermitici Un se numește hermitic sau dacă
care este echivalent cu
Într-un anumit sens, acești operatori joacă rolul numerelor reale (sunt egali cu propriul lor „conjugat complex”) și formează un spațiu vectorial real. Ei servesc drept model de cu valori reale în mecanica cuantică.
Adjuncții operatorilor antiliniari Pentru un , definiția adjunctului trebuie ajustată pentru a compensa conjugarea complexă. Un operator adjunct al operatorului antiliniar pe un spațiu Hilbert complex este un operator antiliniar cu proprietatea:
Alți adjuncți Ecuația
este formal similară cu proprietățile definitorii ale perechilor de din teoria categoriilor, care de aici și-au luat și numele.
Note
Bibliografie . .
Categorie:Teoria operatorilor Categorie:Pagini cu traduceri nerevizuite