thumb|Graficul unei parabole cu o singularitate eliminabilă în În analiza complexă o singularitate eliminabilăLeon Levițchi (coord.), Dicționar Tehnic Englez – Român, București, Editura Tehnică, 1967, p. 51Daniel Breaz ș.a. Transformări integrale și funcții complexe cu aplicații în tehnică , pub.ro, vol. I, p. 116, accesat 2023-05-13Carmen Oana Tărniceriu, Matematici Speciale – Seminar , Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași, accesat 2023-05-13 sau singularitate aparentă a unei funcții olomorfe este un punct în care funcția este nedefinită, dar este posibil să fie redefinită în acel punct astfel încât funcția rezultată să fie regulată în vecinătatea acelui punct.
De exemplu, funcția (nenormalizată)
are o singularitate în . Această singularitate poate fi eliminată prin definirea care este limita lui când tinde la 0. Funcția rezultată este olomorfă. În acest caz, problema a fost cauzată de faptul că lui i s-a dat o formă nedeterminată. Dezvoltarea în serie de puteri pentru în jurul punctului singular este
Formal, dacă este o submulțime deschisă a planului complex , un punct în și este o funcție olomorfă, atunci este o singularitate eliminabilă a lui dacă există o funcție olomorfă care coincide cu pe . Se spune că este extensibilă olomorf peste dacă există o astfel de funcție .
Teorema lui Riemann Teorema lui Riemann asupra singularităților eliminabile este următoarea:
Implicațiile 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 sunt imediate. Pentru a demonstra 4 ⇒ 1, trebuie amintit mai întâi că olomorfia unei funcții în este echivalentă cu a fi analitică în . Adică poate fi dezvoltată în serie de puteri. Se definește
Este evident că este olomorfă pe și pentru punctul 4 există
prin urmare este olomorfă pe și are o serie Taylor în funcție de :
Există 0 = () = 0 și 1 = () = 0; prin urmare
Deoarece , există
Prin urmare,
este olomorfă pe , deci o prelungire a lui .
Alte spețe de singularități Spre deosebire de funcțiile de variabilă reală, funcțiile olomorfe sunt suficient de rigide încât singularitățile lor izolate pot fi complet clasificate. Singularitatea unei funcții olomorfe fie nu este deloc o singularitate, adică este o singularitate eliminabilă, fie una dintre următoarele două spețe: În lumina teoremei lui Riemann, având în vedere o singularitate neeliminabilă, s-ar putea pune întrebarea dacă există un număr natural astfel încât . Dacă da, se numește pol al lui , iar cel mai mic este ordinul lui . Deci singularitățile eliminabile sunt tocmai polii de ordinul 0. O funcție olomorfă se comportă uniform în apropierea celorlalți poli. Dacă o singularitate izolată a lui nu este nici eliminabilă, nici pol, se numește singularitate esențială. arată că o astfel de aplică fiecare vecinătate deschisă a unui punct pe întregul plan complex, cu posibila excepție a cel mult a unui punct.
Note
Legături externe
Removable singular point at Encyclopedia of Mathematics
Categorie:Funcții analitice Categorie:Funcții meromorfe