În matematică funcția zeta Ihara este o funcție asociată cu un graf finit. Seamănă cu funcția zeta Selberg și este folosită pentru a lega drumurile închise cu spectrul matricei de adiacență. Funcția zeta Ihara a fost definită pentru prima dată de Yasutaka Ihara în anii 1960 în contextul subgrupurilor discrete de două câte două din . Jean-Pierre Serre a sugerat în cartea sa Trees (în ) că definiția originală a lui Ihara poate fi reinterpretată conform teoriei grafurilor. Toshikazu Sunada a fost cel care a pus această sugestie în practică în 1985. După cum a observat Sunada, un graf regulat este un dacă și numai dacă funcția sa zeta Ihara satisface un analog al ipotezei Riemann.Terras (1999) p. 678
Definiție Funcția zeta Ihara este definită ca a produsului infinit
Produsul din definiție este aplicabil pe toate geodezicele închise ale grafului , unde geodezicele care diferă doar printr-o deplasare circulară sunt considerate egale. O geodezică închisă pe (cunoscută în teoria grafurilor ca „drum închis”) este un șir finit de noduri astfel încât
Numărul întreg este lungimea a lui . Geodezica închisă este primă dacă nu poate fi obținută prin repetarea de ori a unei geodezice închise, pentru un întreg.
Aceasta este formularea lui Sunada.
Formula lui Ihara Ihara (și Sunada în teoria grafurilor) au arătat că pentru grafurile regulate funcția zeta este o funcție rațională. Dacă este un graf (+1)-regulat cu matricea de adiacență atunciTerras (1999) p. 677
unde este lui . Dacă este conex și are noduri, .
Funcția zeta Ihara este de fapt întotdeauna reciproca unui polinom de graf:
unde este operatorul de adiacență al lui Ki-ichiro Hashimoto.
Aplicații Funcția zeta Ihara joacă un rol important în studiul , a și a sistemelor dinamice, în special a dinamicii simbolice, unde funcția zeta Ihara este un exemplu de funcție zeta Ruelle.Terras (2010) p. 29
Note
Bibliografie
Categorie:Funcții Zeta și L Categorie:Algebră liniară Categorie:Teoria operatorilor