thumb|upright=1.5|Un elicoid cu α = 1, −1 ≤ ρ ≤ 1 și − ≤ θ ≤ . thumb|model 3D În geometrie elicoidul, sau suprafață elicoidală, este o suprafață generată de o dreaptă care se sprijină pe o elice și pe axa ei. După plan și catenoidă, este a treia cunoscută.Andrei Dan Halanay, Curs de geometrie , Universitatea din București, accesat 2022-09-14
Descriere A fost descrisă de Leonhard Euler în 1774 și de Jean Baptiste Meusnier în 1776. Numele provine din asemănarea sa cu elicea: pentru fiecare punct de pe elicoid, există o spirală cuprinsă în elicoid care trece prin acel punct. Întrucât se consideră că domeniul planar se extinde de la infinitul negativ până la cel pozitiv, observarea atentă arată apariția a două plane paralele sau în oglindă în sensul că dacă este trasată panta unui plan, coplanul poate fi văzut ca fiind ocolit sau sărit, deși în realitate co-planul este urmărit și din perspectivă opusă.
Elicoidul este o (și un conoid drept), ceea ce înseamnă că este o urmă a unei linii. Alternativ, pentru orice punct de pe suprafață, există o dreaptă pe suprafață care trece prin acesta. Eugène Charles Catalan a dovedit în 1842 că elicoidul și planul erau singurele suprafețe minimale riglate. Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin (contributor A. A. Tuzhilin), Published by AMS Bookstore, 1991, , , p. 33
În sensul geometriei diferențiale, un elicoid este o suprafață de translație. Elicoidul și catenoida sunt suprafețe minimale.
Elicoidul are forma șurubului lui Arhimede, dar se extinde la infinit în direcția axei sale. Poate fi descris prin următoarele ecuații parametrice în coordonate carteziene:
unde și merg de la infinitul negativ la cel pozitiv, în timp ce este constant. Dacă este pozitiv, atunci elicoidul este „pe dreapta”, cum apare în figură, iar dacă este negativ, elicoidul este „pe stânga”.
Elicoidul are . Suma acestor mărimi dă (zero deoarece elicoidul este o suprafață minimală) iar produsul dă .
Elicoidul este homeomorf cu planul . Pentru a vedea acest lucru, se lasă să scadă continuu de la valoarea sa dată până la zero. Fiecare valoare intermediară a lui va descrie un elicoid diferit, până când este atins și elicoidul devine un plan.
Invers, un plan poate fi transformat într-un elicoid alegând o dreaptă (axa) din plan, apoi răsucind planul în jurul acelei axe.
Dacă un elicoid cu raza se rotește cu un unghi de în jurul axei sale în timp ce se ridică cu o înălțime , aria suprafeței parcurse este dată de: unde
Elicoidul și catenoida thumb|256px|Animație care arată transformarea unui elicoid într-o catenoidă Elicoidul și catenoida sunt suprafețe local izometrice.
Note
Legături externe
WebGL-based Interactive 3D Helicoid
Categorie:Figuri geometrice Categorie:Suprafețe