În matematică, în special în algebra abstractă, o închidere algebrică a unui corp este o extindere algebrică a lui care este închis algebric. Este una dintre multele închideri din matematică.
Folosind lema Zorn McCarthy (1991) p.21 M. F. Atiyah and I. G. Macdonald (1969). Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley publishing Company. pp. 11–12. Kaplansky (1972) pp.74-76 sau mai slaba ultrafiltrare din teoria mulțimilor, Mathoverflow discussion se poate arăta că fiecare corp are o închidere algebrică și că închiderea algebrică a unui corp este unică până la un izomorfism care fixează fiecare membru al . Datorită acestei unicități esențiale, se vorbește adesea despre „închiderea algebrică a lui ” în loc de „o închidere algebrică a lui ”.
Închiderea algebrică a corpului poate fi considerată a fi cea mai mare extindere algebrică a lui . Pentru a vedea asta este de reținut că dacă este orice extindere algebrică a lui , atunci închiderea algebrică a lui este, de asemenea, o închidere algebrică a lui , și așa este cuprins în închiderea algebrică a lui . Închiderea algebrică a lui este, de asemenea, cel mai mic câmp închis algebric care conține , deoarece dacă este un corp închis algebric care conține , atunci elementele din care sunt algebrice pe formează o închidere algebrică a lui .
Închiderea algebrică a unui corp are aceeași cardinalitate ca și dacă este infinit, un infinit numărabil dacă este finit.
Exemple Teorema fundamentală a algebrei afirmă că închiderea algebrică a corpului numerelor reale este corpul numerelor complexe. Închiderea algebrică a corpului numerelor raționale este corpul numerelor algebrice. Există multe corpuri închise algebric numărabile în numerele complexe și care conțin strict corpul numerelor algebrice; acestea sunt închiderile algebrice ale extinderilor transcendente ale numerelor raționale, de exemplu închiderea algebrică a Închiderea algebrică a corpului finit al puterilor de ordinul ale numerelor prime este un corp infinit numărabil care conține o copie a corpului puterilor de ordinul pentru fiecare număr întreg pozitiv (și este de fapt reuniunea acestor copii). .
Note
Bibliografie
Categorie:Teoria corpurilor