miniatura| Planul Fano În geometria finită, planul Fano (după Gino Fano) este planul proiectiv finit de ordinul 2. Este planul proiectiv finit cu cel mai mic număr posibil de puncte și linii: 7 puncte și 7 linii, cu 3 puncte pe fiecare linie și 3 linii prin fiecare punct. Notația standard pentru acest plan, ca membru al unei familii de spatii proiective, este unde reprezinta "geometrie proiectiva", primul parametru este dimensiunea geometrica si al doilea parametru este ordinea.

Planul Fano este un exemplu de structură de incidență finită, astfel încât multe dintre proprietățile sale pot fi stabilite folosind tehnici combinatorii și alte instrumente utilizate în studiul geometriilor incidenței. Deoarece este un spațiu proiectiv, tehnicile algebrice pot fi, de asemenea, instrumente eficiente în studiul său.

Coordonate omogene Planul Fano poate fi construit prin algebră liniară ca plan proiectiv peste câmpul finit cu două elemente. Se poate construi planuri proiective în mod similar peste orice alt câmp finit, planul Fano fiind cel mai mic.

Folosind construcția standard a spațiilor proiective prin coordonate omogene, cele șapte puncte ale planului Fano pot fi etichetate cu cele șapte triple ordonate diferite de zero ale cifrelor binare 001, 010, 011, 100, 101, 110 și 111. Acest lucru se poate face în așa fel încât pentru fiecare două puncte p și q, al treilea punct de pe linia pq are eticheta formată prin adăugarea etichetelor lui p și q modul 2. Cu alte cuvinte, punctele planului Fano corespund punctelor nenule ale spațiului vectorial finit de dimensiunea 3 peste câmpul finit de ordinul 2.

Datorită acestei construcții, planul Fano este considerat a fi un plan desarguesian, chiar dacă planul este prea mic pentru a conține o configurație Desargues nedegenerată (care necesită 10 puncte și 10 linii).

Liniile planului Fano pot primi, de asemenea, coordonate omogene, folosind din nou tripluri diferite de zero ale cifrelor binare. Cu acest sistem de coordonate, un punct este incident la o linie dacă coordonatele pentru punct și coordonatele pentru linie au un număr par de poziții la care ambii au biți diferiți de zero: de exemplu, punctul 101 aparține liniei 111, deoarece au biți diferiți de zero la două poziții comune. În ceea ce privește algebra liniară subiacentă, un punct aparține unei linii dacă produsul interior al vectorilor care reprezintă punctul și linia este zero.

Liniile pot fi clasificate în trei tipuri.

Pe trei dintre linii triplele binare pentru puncte au 0 într-o poziție constantă: linia 100 (conținând punctele 001, 010 și 011) are 0 în prima poziție, iar liniile 010 și 001 sunt formate în același fel. Pe trei dintre linii, două dintre pozițiile din triplele binare ale fiecărui punct au aceeași valoare: în linia 110 (care conține punctele 001, 110 și 111) prima și a doua poziție sunt întotdeauna egale, iar liniile 101 și 011 sunt formate în același mod. În linia rămasă 111 (care conține punctele 011, 101 și 110), fiecare triplu binar are exact doi biți diferiți de zero.

Construcție teoretică de grup Alternativ, cele 7 puncte ale planului corespund celor 7 elemente neidentitare ale grupului (Z 2)3=Z2×Z 2×Z2. Liniile planului corespund subgrupurilor de ordinul 4, izomorfe la Z2×Z2. Grupul de automorfisme GL (3,2) al grupului (Z2)3 este cel al planului Fano și are ordinul 168.

Graficul Levi miniatura| Graficul bipartit Heawood. Punctele sunt reprezentate de vârfurile unei culori și liniile de vârfurile celeilalte culori. Ca și în cazul oricărei structuri de incidență, graficul Levi al planului Fano este un grafic bipartit, vârfurile unei părți reprezentând punctele și cealaltă reprezentând liniile, cu două vârfuri unite dacă punctul și linia corespunzătoare sunt incidente. Acest grafic special este un grafic cub conectat (regulat de gradul 3), are circumferința 6 și fiecare parte conține 7 vârfuri. Este graficul Heawood, unicul cu 6 cuști.

Colineatii stanga|miniatura|180x180px| O coliniere a planului Fano corespunzătoare permutării codului Grey pe 3 biți O coliniere, automorfism sau simetrie a planului Fano este o permutare a celor 7 puncte care păstrează colinearitatea: adică poartă puncte coliniare (pe aceeași linie) către puncte coliniare. Prin teorema fundamentală a geometriei proiective, grupul de colinare completă (sau grupul de automorfism sau grupul de simetrie ) este grupul liniar proiectiv PGL (3,2),Actually it is PΓL(3,2), but since the finite field of order 2 has no non-identity automorphisms, this becomes PGL(3,2). asemenea . Deoarece câmpul are un singur element diferit de zero, acest grup este izomorf pentru grupul liniar special proiectiv PSL (3,2) și grupul liniar general GL (3,2). De asemenea, este izomorf pentru PSL (2,7).

Acesta este un grup bine cunoscut (WKG) de ordinul 168 = 23·3·7, al doilea cel mai mare grup simplu non-abelian după A5 de ordinul 60.

Ca un grup de permutare care acționează asupra celor 7 puncte ale planului, grupul de colinare este dublu tranzitiv, ceea ce înseamnă că orice pereche ordonată de puncte poate fi cartografiata prin cel puțin o coliniere cu orice altă pereche ordonată de puncte. (Vezi mai jos. )

Colineatiunile pot fi, de asemenea, privite ca automorfisme de conservare a culorilor din graficul Heawood (a se vedea figura). miniatura| Dualitate în planul Fano: Fiecare punct corespunde unei linii și invers.

Dualități O bijecție între setul de puncte și setul de linii care păstrează incidența se numește dualitate și o dualitate de ordinul doi se numește polaritate.

Dualitățile pot fi privite în contextul graficului Heawood ca automorfisme de inversare a culorii. Un exemplu de polaritate este dat de reflectarea printr-o linie verticală care împarte în două reprezentarea graficului Heawood dată în dreapta. Existența acestei polarități arată că planul Fano este autodual. Aceasta este, de asemenea, o consecință imediată a simetriei dintre puncte și linii în definirea relației de incidență în termeni de coordonate omogene, așa cum este detaliat într-o secțiune anterioară.

Structura ciclului miniatura|180x180px| O numerotare agilă a planului Fano Grupul de coliniere, considerat un grup de permutare a celor 7 puncte numerotate în figură, este generat de: given with a different labeling

(1432657), (162) (374), (14) (27), (17) (24), (17) (24) (36).

Acesta cuprinde 6 clase de conjugare. Următoarele structuri de ciclu definesc fiecare o singură clasă de conjugare:

faracadru|117x117px Permutarea identității faracadru|117x117px 21 permutări cu două 2-cicluri faracadru|118x118px legătură=42 permutări cu 4-cicluri și 2-cicluri faracadru|118x118px legătură=56 permutări cu două 3-cicluri

Cele 48 de permutații cu un ciclu complet de 7 formează două clase distincte de conjugare cu 24 de elemente:

faracadru|118x118px Hărțile A către B, B către C, C către D. Atunci D este pe aceeași linie ca A și B. faracadru|118x118px Hărțile A către B, B către C, C către D. Atunci D este pe aceeași linie ca A și C.

Consultați coliniile avionului Fano pentru o listă completă.

Prin urmare, prin teorema enumerării Pólya, numărul de colorări inechivalente ale planului Fano cu n culori este:

Completează patrulaterele și subplanurile Fano În orice plan proiecțional, un set de patru puncte, dintre care trei nu sunt coliniare, iar cele șase linii care unesc perechile acestor puncte este o configurație cunoscută sub numele de patrulater complet. Liniile se numesc laturi și perechile de laturi care nu se întâlnesc la unul dintre cele patru puncte se numesc laturi opuse. Punctele la care se întâlnesc părțile opuse se numesc puncte diagonale și există trei dintre ele.

Dacă această configurație se află într-un plan proiectiv și cele trei puncte diagonale sunt coliniare, atunci cele șapte puncte și șapte linii ale configurației extinse formează un subplan al planului proiectiv care este izomorf pentru planul Fano și se numește subplan Fano .

Un rezultat faimos, datorat lui Andrew M. Gleason afirmă că, dacă fiecare patrulater complet într-un plan proiecțional finit se extinde la un subplan Fano (adică are puncte diagonale coliniare), atunci planul este desarguesian. Gleason a numit orice plan proiectiv care îndeplinește această condiție un plan Fano, creând astfel o oarecare confuzie cu terminologia modernă. Pentru a compune confuzia, axioma lui Fano afirmă că punctele diagonale ale unui patrulater complet nu sunt niciodată coliniare, o condiție care se menține în planurile proiective euclidiene și reale. Astfel, ceea ce Gleason a numit avioane Fano nu satisface axioma lui Fano.

Configurări Planul Fano conține următoarele configurații de numere puncte și linii de diferite tipuri. Pentru fiecare tip de configurație, numărul de copii ale configurației înmulțit cu numărul de simetrii ale planului care păstrează configurația neschimbată este egal cu 168, dimensiunea întregului grup de coliniere, cu condiția ca fiecare copie să poată fi mapată la orice altă copie (vezi teorema Orbit-Stabilizer). Deoarece planul Fano este auto-dual, aceste configurații vin în perechi duale și se poate arăta că numărul de colineații care fixează o configurație este egal cu numărul de colineații care fixează configurația sa duală.

Există 7 puncte cu 24 simetrii care fixează orice punct și dualitatea lui, există 7 linii cu 24 simetrii care fixează orice linie. Numărul simetriilor rezultă din 2-tranzitivitatea grupului de colinare, ceea ce implică faptul că grupul acționează tranzitiv asupra punctelor. Există 42 de perechi de puncte ordonate și fiecare poate fi cartografiat printr-o simetrie pe orice altă pereche ordonată. Pentru orice pereche comandată există 4 simetrii care o fixează. În mod corespunzător, există 21 de perechi de puncte neordonate, fiecare dintre ele putând fi mapate printr-o simetrie pe orice altă pereche neordonată. Pentru orice pereche neordonată există 8 simetrii care o fixează. Există 21 de steaguri constând dintr-o linie și un punct pe acea linie. Fiecare steag corespunde perechii neordonate a celorlalte două puncte de pe aceeași linie. Pentru fiecare steag, 8 simetrii diferite îl mențin fix. Există 7 moduri de a selecta un patrulater de patru puncte (neordonate) dintre care trei nu sunt coliniare. Aceste patru puncte formează complementul unei linii, care este linia diagonală a patrulaterului și o coliniere fixează patrulaterul dacă și numai dacă fixează linia diagonală. Astfel, există 24 de simetrii care fixează orice astfel de patrulater. Configurația duală este un patrulater format din patru linii dintre care trei nu se întâlnesc într-un punct și cele șase puncte de intersecție ale acestora, este complementul unui punct din planul Fano. Sunt tripluri de puncte, dintre care șapte sunt tripluri coliniare, lăsând 28 de tripluri sau triunghiuri necoliniare. Configurația constând din cele trei puncte ale unui triunghi și din cele trei linii care unesc perechile acestor puncte este reprezentată de un ciclu 6 în graficul Heawood. Un automorfism de păstrare a culorilor graficului Heawood care fixează fiecare vârf al unui ciclu 6 trebuie să fie automorfismul identității. Aceasta înseamnă că există 168 de triunghiuri marcate fixate numai prin colinierea identității și doar șase colineații care stabilizează un triunghi nemarcat, unul pentru fiecare permutare a punctelor. Aceste 28 de triunghiuri pot fi privite ca corespunzătoare celor 28 de bitangenți ai unui quartic. Există 84 de moduri de a specifica un triunghi împreună cu un punct distinct pe acel triunghi și două simetrii care fixează această configurație. Dualul configurației triunghiului este, de asemenea, un triunghi.