În matematică, un grup Lie (pronunțat ) este un grup care este și , cu proprietatea că operația grupului și inversarea ei sunt diferențiabile. Grupurile Lie sunt numite astfel în cinstea matematicianului norvegian Sophus Lie, care a pus bazele teoriei grupurilor de transformare continue.
În linii mari, un grup Lie este un grup continuu, adică unul ale cărui elemente sunt descrise de mai mulți parametri reali. Astfel, grupurile Lie oferă un model natural pentru conceptul de simetrie continuă, cum ar fi simetria de rotație tridimensională. Grupurile Lie sunt utilizate pe scară largă în multe părți ale matematicii și fizicii moderne. Motivația inițială a lui Lie pentru introducerea acestor grupuri era de a modela simetriile continue ale ecuațiilor diferențiale, în același mod în care grupurile finite sunt folosite în teoria lui Galois pentru a modela simetriile discrete ale ecuațiilor algebrice.
Vedere generală dreapta|miniatura| Mulțimea tuturor numerelor complexe de modul 1 (corespunzătoare punctelor de pe cercul cu centrul în origine și rază 1 în planul complex) este un grup Lie în raport cu înmulțirea complexă: . Grupurile Lie sunt de clasă și, ca atare, pot fi studiate folosind calculul diferențial, spre deosebire de mai generale. Una dintre ideile cheie din teoria grupurilor Lie este aceea de a înlocui obiectul global, grupul, cu versiunea sa locală sau liniarizată, pe care Lie îl numește „grup infinitezimal” și care de atunci a devenit cunoscut sub numele de a acestuia.
Grupurile Lie joacă un rol enorm în geometria modernă, pe mai multe niveluri diferite. Felix Klein susținea în că se pot lua în considerare diverse „geometrii” prin specificarea unui grup de transformare adecvat care lasă anumite proprietăți geometrice invariante. Astfel, geometria euclidiană corespunde cu alegerea grupului al transformărilor de conservare la distanță a spațiului Euclidian , corespunde lărgirii grupului la , în timp ce în geometria proiectivă interesul îl constituie proprietățile invariabile în raport cu . Această idee a dus mai târziu la noțiunea de , unde G este un grup Lie al simetriilor „locale” ale unei varietăți.
Grupurile Lie (și algebrele lor Lie asociate) joacă un rol major în fizica modernă, grupul Lie având de obicei rolul unei simetrii a unui sistem fizic. Aici sunt deosebit de importante grupului Lie (sau ale acestora). Teoria reprezentării . Printre grupurile ale căror reprezentări au o importanță deosebită se numără (sau ), și .
La nivel „global”, oricând un grup Lie asupra unui obiect geometric, cum ar fi o sau simplectică, această acțiune furnizează o măsură a rigidității și produce o structură algebrică bogată. Prezența simetriilor continue exprimate prin asupra unei varietăți produce constrângeri puternice asupra geometriei sale și facilitează varietății. Acțiunile liniare asupra grupurilor Lie sunt deosebit de importante, și sunt studiate în teoria reprezentării.
În anii 1940–1950, , , și Claude Chevalley și-au dat seama că multe rezultate fundamentale referitoare la grupurile Lie pot fi dezvoltate complet algebric, dând naștere la teoria definite pe un corp arbitrar. Această perspectivă a deschis noi posibilități în algebra pură, oferind o construcție uniformă pentru cele mai multe , precum și în geometria algebrică. Teoria , o ramură importantă a teoriei numerelor moderne, se ocupă în mare măsură de analoagele grupurilor Lie în ; grupurile Lie joacă un rol important, prin intermediul conexiunilor lor cu reprezentările Galois din teoria numerelor.
Definiții și exemple Un grup Lie real este un grup care este și o varietate reală, în care operațiile de grup de multiplicare și găsire a simetricului sunt aplicații netede. Această ultimă proprietate a multiplicării grupului
înseamnă că este o aplicație netedă, definită pe varietatea produsului cartezian cu valori în . Aceste două cerințe pot fi combinate cu unica cerință ca aplicația
să fie o aplicație netedă definită pe varietatea produs cartezian cu valori în .
Primele exemple
Matricile inversabile reale 2 × 2 formează un grup în raport cu înmulțirea, notat cu sau cu :
Acesta este un grup tetradimensional, real, necompact, Lie; este o submulțime deschisă a lui . Acest grup este neconex; are două componente conexe care corespund valorilor pozitive și negative ale determinantului.
Matricile de rotație formează un subgrup al lui , notat cu . El este în sine un grup Lie în sine: anume, un grup compact, unidimensional, conex, care este difeomorf cucercul. Folosind unghiul de rotație ca parametru, acest grup poate fi parametrizat după cum urmează:
Adunarea unghiurilor corespunde multiplicării elementelor din , iar găsirea unghiului invers corespunde operației de găsire a simetricului. Astfel, atât înmulțirea, cât și găsirea simetricului sunt aplicații diferențiabile.
este un grup Lie de matrici bidimensionale, constând din matrici reale, superior triunghiulare, de dimensiune , primul element de pe diagonală fiind pozitiv, iar cel de-al doilea fiind 1. Astfel, grupul constă din matrici de forma
Exemplu de grup care nu este un grup Lie Urmează un exemplu de grup cu un număr nenumărabil de elemente care nu este un grup Lie în cadrul unei anumite topologii. Grupul dat de
cu un număr irațional fix, este un subgrup al torului care nu este un grup Lie atunci când primește . Dacă luăm orice vecinătate mică a unui punct din , de exemplu, porțiunea de din este neconexă. Grupul se înfășoară repetat în jurul torului și formează un subgrup dens al lui . dreapta|miniatura| O porțiune a grupului înăuntrul lui . Mici vecinătăți ale elementului sunt neconexe în topologia de submulțime pe Grupul poate, totuși, să primească o topologie diferită, în care distanța dintre două puncte este definită ca lungimea celei mai scurte căi în grupul H care leagă de . În această topologie, este identificat homeomorf cu dreapta reală prin identificarea fiecărui element cu numărul din definiția lui . Cu această topologie, este doar grupul numerelor reale în raport cu acunarea și este, prin urmare, un grup Lie.
Grupul este un exemplu de „subgrup Lie” al unui grup Lie care nu este închis.
Grupuri Lie matriciale Fie denota grupul matricilor inversabile cu elemente din C. Orice subgrup închis al lui este un grup Lie; Corolarul 3.45 Grupurile Lie de acest fel se numesc grupuri Lie matriciale. Deoarece cele mai multe dintre exemplele interesante ale grupurilor Lie pot fi realizate ca grupuri Lie matriciale, unele manuale se concentrează doar asupra acestei clase, inclusiv a cărțile lui Hall și Rossmann. Restricționarea atenției asupra grupurile Lie matriciale simplifică definirea algebrei Lie și a aplicației exponențiale. Următoarele sunt exemple standard de grupuri Lie matriciale.
peste R și C, și constând din matrici cu determinantul 1 și elemente din R sau C și grupurile unitare speciale, U(n) și SU(n), constând din matrici complexe care satisfac (și în cazul SU(n)) Grupurile ortogonale și grupurile ortogonale speciale, O(n) și SO(n), constând din matrici reale care satisfac (și în cazul SO(n))
Toate exemplele precedente se încadrează în categoria .
Concepte înrudite Un grup Lie complex este definit în același mod folosind în locul celor reale (exemplu: ) și, similar, folosind o completare metrică alternativă a lui Q, se poate defini un grup p-adic Lie peste , un grup topologic în care fiecare punct are o vecinătate p-adică. a pus întrebarea dacă înlocuirea varietăților diferențiabile cu cele topologice sau analitice poate da noi exemple. Răspunsul la această întrebare s-a dovedit a fi negativ: în 1952, , și au arătat că dacă este o varietate topologică cu operații continue de grup, atunci există o structură analitică exactă pe , care o transformă într-un grup Lie. Dacă mulțimii de bază i se permite să fie infinit dimensională (de exemplu, o ), atunci se ajunge la noțiunea de grup neliniar infinit-dimensional. Este posibil să se definească analoage ale multor și acestea oferă cele mai multe exemple de .
Limbajul teoriei categoriilor oferă o definiție concisă pentru grupurile Lie: un grup Lie este un în categoria de clasă . Acest lucru este important, deoarece permite generalizarea noțiunii de grup Lie la .
Definiție topologică Un grup Lie poate fi definit ca grup topologic (Hausdorff) care, în apropierea elementului neutru, arată ca un grup de transformare, fără a se face referire la varietăți diferențiate. În primul rând, se definește un grup imers liniar Lie, care este un subgrup G al grupului liniar general astfel încât
pentru o anumită vecinătate a elementului neutru din , topologia pe este topologia de subspațiu a lui și este închisă în . are cel mult multe un număr numărabil de componente conexe.
(De exemplu, un subgrup închis al lui ; adică, un grup Lie matricial satisface condițiile de mai sus. )
Atunci, un grup Lie este definit ca un grup topologic care (1) este izomorf la nivel local în apropierea elementului neutru cu un grup Lie imers liniar și (2) are cel mult un număr numărabil de componente conexe. Demonstrarea că definiția topologică este echivalentă cu cea uzuală este complexă.
Note
Bibliografie .
. Capitolele 1–3 , Capitolele 4–6 , Capitolele 7–9
. (1957) Lie Groups, Cambridge Tracts in Mathematical Physics. (1940) A History of Geometrical Methods, pp 304–17, Oxford University Press ( 2003).
Robert Gilmore (2008) Lie groups, physics, and geometry: an introduction for physicists, engineers and chemists, Cambridge University Press . . F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, , . Borel's review
. T. Kobayashi and T. Oshima, Lie groups and Lie algebras I, Iwanami, 1999 (in Japanese)
. The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.
.
Heldermann Verlag Journal of Lie Theory
. Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010
Categorie:Simetrie Categorie:Varietăți multidimensionale Categorie:Pagini cu legături spre conținut disponibil doar pe bază de abonament