miniatura|Grup hiperoctaedric de ordinul 5 cu elemente de același rang evidențiate în aceeași culoare. În algebră liniară, rangul unei matrici este dimensiunea spațiului vectorial generat (sau întins) de coloanele ei. pp. 111-112, §§ 3.115, 3.119 p. 48, § 1.16Bourbaki, Algebra, ch. II, §10.12, p. 359 Aceasta corespunde numărului maxim de coloane liniar independente ale lui . Acesta, la rândul lui, este identic cu dimensiunea spațiului vectorial întins de rândurile ei. Rangul este astfel o măsură a „nedegenerescenței” sistemului de ecuații liniare și a transformării liniare codificate de . Există mai multe definiții echivalente ale rangului. Rangul unei matrici este una dintre cele mai fundamentale caracteristici ale ei.

Rangul este notat în mod obișnuit cu sau ; uneori parantezele nu se scriu, ca în .O notație alternativă include din și . Rangul poate fi notat și cu , de la cuvântul german Rang.

Mai general, rangul unei aplicații liniare între două spații vectoriale este dimensiunea imaginii sale.

Definiții principale

În această secțiune prezentăm câteva definiții ale rangului unei matrici. Sunt posibile multe definiții; vezi Definiții alternative pentru mai multe dintre ele.

Rangul pe coloane al lui este dimensiunea spațiului coloanelor lui , în timp ce rangul pe rânduri al lui este dimensiunea spațiului rândurilor lui .

Un rezultat fundamental în algebra liniară este că rangul pe coloane și rangul pe rânduri sunt întotdeauna egale. (Trei demonstrații ale acestui rezultat sunt date mai jos, în Demonstrații că rangul pe coloane = rangul pe rânduri.) Acest număr (adică numărul de rânduri sau coloane liniar independente) se numește pur și simplu rangul lui .

Se spune că o matrice are rang complet dacă rangul ei este egal cu maximul posibil pentru o matrice de aceeași dimensiune, adică minimul dintre numărul de rânduri și numărul de coloane. Se spune că o matrice este deficitară de rang dacă nu are rang complet. Deficiența de rang a unei matrici este diferența dintre minimul dintre numărul de rânduri și coloane și rang.

Rangul unei aplicații liniare sau al unui operator este definit ca dimensiunea imaginii sale: p. 200, ch. 3, Definition 2.1 p. 52, § 2.5.1 p. 71, § 4.3 p. 90, § 50unde este dimensiunea unui spațiu vectorial, iar este imaginea unei aplicații.

Exemple Matricea

are rang 2: primele două coloane sunt liniar independente, deci rangul este cel puțin 2, dar cum a treia este o combinație liniară a primelor două (prima coloană plus a doua), cele trei coloane sunt liniar dependente, deci rangul trebuie să fie mai mic decât 3.

Matricea

are rang 1: există coloane nenule, deci rangul este pozitiv, dar orice pereche de coloane este liniar dependentă. Similar, transpusa

lui are rang 1. Într-adevăr, deoarece vectorii coloană ai lui sunt vectorii rând ai transpusei lui , afirmația că rangul pe coloane al unei matrici este egal cu rangul pe rânduri este echivalentă cu afirmația că rangul unei matrici este egal cu rangul transpusei ei, adică .

Calculul rangului unei matrici

Rangul din formele eșalonate pe rânduri

O metodă obișnuită de a găsi rangul unei matrici este reducerea ei la o formă mai simplă, în general formă eșalonată pe rânduri, prin operații elementare pe rânduri. Operațiile pe rânduri nu schimbă spațiul rândurilor (deci nu schimbă rangul pe rânduri) și, fiind inversabile, trimit spațiul coloanelor într-un spațiu izomorf (deci nu schimbă rangul pe coloane). Odată ajunsă în formă eșalonată pe rânduri, rangul este evident același atât pentru rangul pe rânduri, cât și pentru rangul pe coloane, și este egal cu numărul de pivoți (sau coloane de bază) și, de asemenea, cu numărul de rânduri nenule.

De exemplu, matricea dată de

poate fi adusă la forma redusă eșalonată pe rânduri prin folosirea următoarelor operații elementare pe rânduri:

Matricea finală (în formă redusă eșalonată pe rânduri) are două rânduri nenule, deci rangul matricii este 2.

Calcul numeric Atunci când sunt aplicate la calcule în virgulă mobilă pe calculatoare, eliminarea Gaussiană de bază (descompunere LU) poate fi nesigură, iar în schimb ar trebui folosită o descompunere care evidențiază rangul. O alternativă eficientă este descompunerea în valori singulare (SVD), dar există și alte alegeri mai puțin costisitoare computațional, cum ar fi descompunerea QR cu pivotare (așa-numita „factoring QR care evidențiază rangul”), care sunt totuși mai robuste numeric decât eliminarea Gaussiană. Determinarea numerică a rangului necesită un criteriu pentru a decide când o valoare, cum ar fi o valoare singulară din SVD, trebuie tratată ca zero, o alegere practică ce depinde atât de matrice, cât și de aplicație.

Demonstrații că rangul pe coloane = rangul pe rânduri

Demonstrație prin reducere pe rânduri Faptul că rangul pe coloane și rangul pe rânduri ale oricărei matrici sunt egale este fundamental în algebra liniară. Au fost date multe demonstrații. Una dintre cele mai elementare a fost schițată în Rangul din formele eșalonate pe rânduri. Iată o variantă a acestei demonstrații:

Este ușor de arătat că nici rangul pe rânduri, nici rangul pe coloane nu se schimbă printr-o operație elementară pe rând. Cum eliminarea Gaussiană se realizează prin operații elementare pe rând, forma redusă eșalonată pe rânduri a unei matrici are același rang pe rânduri și același rang pe coloane ca matricea inițială. Operațiile elementare suplimentare pe coloane permit aducerea matricii la forma unei matrice identitate eventual înconjurată de rânduri și coloane de zerouri. Din nou, aceasta nu schimbă nici rangul pe rânduri, nici rangul pe coloane. Este imediat că atât rangul pe rânduri, cât și rangul pe coloane ale acestei matrici rezultate este numărul elementelor ei nenule.

Prezentăm alte două demonstrații ale acestui rezultat. Prima folosește doar proprietăți de bază ale combinațiilor liniare de vectori și este valabilă peste orice corp. Demonstrația se bazează pe Wardlaw (2005). A doua folosește ortogonalitatea și este valabilă pentru matrici peste numerele reale; se bazează pe Mackiw (1995). Ambele demonstrații se găsesc în cartea lui Banerjee și Roy (2014).

Demonstrație prin combinații liniare Fie o matrice . Fie rangul pe coloane al lui egal cu , iar o bază pentru spațiul coloanelor lui . Așezați aceste vectori ca și coloane ale unei matrici . Fiecare coloană a lui poate fi exprimată ca o combinație liniară a celor coloane din . Aceasta înseamnă că există o matrice astfel încât . este matricea a cărei coloană este formată din coeficienții care exprimă coloana a lui ca o combinație liniară a celor coloane ale lui . Cu alte cuvinte, este matricea care conține coeficienții pentru bazele spațiului coloanelor lui (adică ), care sunt apoi folosiți pentru a construi în întregime. Acum, fiecare rând al lui este dat de o combinație liniară a celor rânduri ale lui . Prin urmare, rândurile lui formează o mulțime generatoare a spațiului rândurilor lui și, prin lema de schimb Steinitz, rangul pe rânduri al lui nu poate depăși pe . Aceasta arată că rangul pe rânduri al lui este mai mic sau egal cu rangul pe coloane al lui . Acest rezultat poate fi aplicat oricărei matrici, deci îl aplicăm transpunsei lui . Cum rangul pe rânduri al transpusei lui este rangul pe coloane al lui , iar rangul pe coloane al transpusei lui este rangul pe rânduri al lui , rezultă inegalitatea inversă și obținem egalitatea dintre rangul pe rânduri și rangul pe coloane al lui . (Vezi și rank factorization.)

Demonstrație prin ortogonalitate Fie o matrice cu elemente în numerele reale, al cărei rang pe rânduri este . Prin urmare, dimensiunea spațiului rândurilor lui este . Fie o bază a spațiului rândurilor lui . Susținem că vectorii sunt liniar independenți. Pentru a vedea de ce, considerăm o relație liniară omogenă care implică acești vectori cu coeficienți scalari :

unde . Avem două observații: (a) este o combinație liniară de vectori din spațiul rândurilor lui , ceea ce implică faptul că aparține spațiului rândurilor lui , și (b) deoarece , vectorul este ortogonal pe fiecare vector rând al lui și, prin urmare, este ortogonal pe fiecare vector din spațiul rândurilor lui . Faptele (a) și (b) împreună implică faptul că este ortogonal pe sine însuși, ceea ce arată că sau, prin definiția lui ,

Dar reamintim că vectorii au fost aleși ca bază a spațiului rândurilor lui , deci sunt liniar independenți. Aceasta implică faptul că . Rezultă că sunt liniar independenți.

Fiecare aparține spațiului coloanelor lui . Așadar, este o mulțime de vectori liniar independenți în spațiul coloanelor lui și, prin urmare, dimensiunea spațiului coloanelor lui (adică rangul pe coloane al lui ) trebuie să fie cel puțin . Aceasta arată că rangul pe rânduri al lui nu este mai mare decât rangul pe coloane al lui . Aplicăm acum acest rezultat transpusei lui pentru a obține inegalitatea inversă și a concluziona ca în demonstrația anterioară.

Definiții alternative În toate definițiile din această secțiune, matricea este considerată o matrice peste un corp arbitrar .

Dimensiunea imaginii Dată fiind matricea , există o aplicație liniară asociată

definită prin

Rangul lui este dimensiunea imaginii lui . Această definiție are avantajul că poate fi aplicată oricărei aplicații liniare fără a fi nevoie de o matrice specifică.

Rang în termenii nulității Pentru aceeași aplicație liniară ca mai sus, rangul este minus dimensiunea nucleului lui . Teorema rang–nulitate afirmă că această definiție este echivalentă cu precedenta.

Rang pe coloane – dimensiunea spațiului coloanelor Rangul lui este numărul maxim de coloane liniar independente ale lui ; aceasta este dimensiunea spațiului coloanelor lui (spațiul coloanelor fiind subspațiul lui generat de coloanele lui , care este de fapt chiar imaginea aplicației liniare asociată lui ).

Rang pe rânduri – dimensiunea spațiului rândurilor Rangul lui este numărul maxim de rânduri liniar independente ale lui ; aceasta este dimensiunea spațiului rândurilor lui .

Rang de descompunere Rangul lui este cel mai mic număr întreg pozitiv astfel încât poate fi factorizată ca , unde este o matrice și este o matrice . De fapt, pentru orice număr întreg , sunt echivalente următoarele:

rangul pe coloane al lui este mai mic sau egal cu ; există coloane de dimensiune astfel încât orice coloană a lui este o combinație liniară a lui ; există o matrice și o matrice astfel încât (când este rangul, aceasta este o descompunere de rang a lui ); există rânduri de dimensiune astfel încât orice rând al lui este o combinație liniară a lui ; rangul pe rânduri al lui este mai mic sau egal cu .

Într-adevăr, următoarele echivalențe sunt evidente: . De exemplu, pentru a demonstra (3) din (2), luați ca matrice ale cărei coloane sunt din (2). Pentru a demonstra (2) din (3), luați ca fiind coloanele lui .

Rezultă din echivalența că rangul pe rânduri este egal cu rangul pe coloane.

Ca și în cazul caracterizării prin „dimensiunea imaginii”, aceasta poate fi generalizată la o definiție a rangului oricărei aplicații liniare: rangul unei aplicații liniare este dimensiunea minimă a unui spațiu intermediar astfel încât poate fi scrisă ca o compunere a unei aplicații și a unei aplicații . Din păcate, această definiție nu sugerează o metodă eficientă de calcul al rangului (pentru care este mai bine să se folosească una dintre definițiile alternative). Vezi rank factorization pentru detalii.

Rang în termenii valorilor singulare Rangul lui este egal cu numărul valorilor singulare nenule, ceea ce este același lucru cu numărul elementelor diagonale nenule din Σ din descompunerea în valori singulare

Rang determinantal – dimensiunea celui mai mare minor nenul