În matematică, o funcție constantă este o funcție al cărei valori de ieșire are aceeași valoare pentru orice valoare de intrare.

Proprietăți de bază thumb|Un exemplu de funcție constantă este , deoarece valoarea lui este 4 indiferent de valoarea de intrare . Ca funcție cu valori reale și argument real, o funcție constantă are forma generală sau, pe scurt, De exemplu, funcția este o funcție constantă specifică, în care valoarea de ieșire este . Domeniul acestei funcții este mulțimea tuturor numerelor reale. Imaginea acestei funcții este mulțimea singleton . Variabila independentă nu apare în partea dreaptă a expresiei funcției, astfel că valoarea ei este „înlocuită în mod vid”; anume , , și așa mai departe. Indiferent de valoarea lui introdusă, ieșirea este .

Graficul funcției constante este o dreaptă orizontală în plan care trece prin punctul . În contextul unui polinom într-o singură variabilă , funcția constantă este numită funcție constantă nenulă deoarece este un polinom de gradul 0, iar forma sa generală este , unde este nenul. Această funcție nu are punct de intersecție cu axa , ceea ce înseamnă că nu are rădăcini (zerouri). Pe de altă parte, polinomul este funcția identic nulă. Ea este funcția constantă, iar orice valoare a lui este rădăcină. Graficul său este axa în plan. Graficul său este simetric față de axa și, prin urmare, o funcție constantă este o funcție pară.

În contextul în care este definită, derivata unei funcții măsoară rata de schimbare a valorilor funcției în raport cu schimbarea valorilor de intrare. Deoarece o funcție constantă nu se schimbă, derivata ei este 0. Acest lucru se scrie adesea: . Inversul este de asemenea adevărat. Anume, dacă pentru toate numerele reale , atunci este o funcție constantă. De exemplu, pentru funcția constantă Derivata lui este funcția identic nulă

Alte proprietăți Pentru funcții între mulțimi preordonate, funcțiile constante sunt atât păstrătoare ale ordinii, cât și inversoare ale ordinii; reciproc, dacă este atât păstrătoare ale ordinii, cât și inversoare ale ordinii, iar domeniul lui este o rețea, atunci trebuie să fie constantă.

Orice funcție constantă al cărei domeniu și codomeniu sunt aceeași mulțime este un zero la stânga al monoidului transformărilor totale]] pe , ceea ce implică faptul că este și idempotentă. Are pantă sau gradient zero. Orice funcție constantă între spații topologice este continuă. Pentru orice mulțime nevidă , orice mulțime este izomorfă cu mulțimea funcțiilor constante din . Pentru orice și orice element din , există o funcție unică astfel încât pentru toate . Reciproc, dacă o funcție satisface pentru toate , atunci este, prin definiție, o funcție constantă. Ca o consecință, mulțimea cu un singur element este un generator în categoria mulțimilor. Orice mulțime este canonic izomorfă cu mulțimea de funcții , sau mulțime hom în categoria mulțimilor, unde 1 este mulțimea cu un singur element. Din acest motiv și datorită adjuncției dintre produsul cartezian și hom în categoria mulțimilor (astfel încât există un izomorfism canonic între funcțiile de două variabile și funcțiile de o variabilă cu valori în funcții de altă variabilă (unică), ), categoria mulțimilor este o categorie monoidală închisă, cu produs cartezian al mulțimilor ca produs tensorial și mulțimea cu un singur element ca unitate tensorială. În izomorfismele naturale în , unitățile din stânga și din dreapta sunt proiecțiile și ale perechilor ordonate și , respectiv, către elementul , unde este punctul unic din mulțimea cu un singur element.

O funcție pe o mulțime conexă este constantă local dacă și numai dacă este constantă.

Referințe

Herrlich, Horst și Strecker, George E., Category Theory, Heldermann Verlag (2007).

Legături externe

Categorie:Algebră elementară Categorie:Funcții matematice Categorie:Funcții polinomiale