miniatura|Matrice pătrată, diagonală. În algebră liniară, o matrice diagonală este o matrice în care toate elementele din afara diagonalei principale sunt nule; termenul se referă, de obicei, la matrici pătrate. Elementele de pe diagonala principală pot fi zero sau nenule. Un exemplu de matrice diagonală de ordinul 2 este , iar un exemplu de matrice diagonală de ordinul 3 este . O matrice unitate de orice ordin, sau orice multiplu al ei, este o matrice diagonală numită matrice scalară, de exemplu .
În geometrie, o matrice diagonală poate fi folosită ca matrice de scalare, deoarece înmulțirea unei matrici cu aceasta determină schimbarea scării (dimensiunii) și, eventual, a formei; numai o matrice scalară produce o schimbare uniformă a scării.
Definiție
Așa cum s-a arătat mai sus, o matrice diagonală este o matrice în care toate elementele din afara diagonalei principale sunt nule. Mai precis, matricea cu coloane și linii este diagonală dacă
Totuși, elementele de pe diagonala principală nu sunt restricționate.
Termenul matrice diagonală se poate referi uneori la o , adică o matrice de tip -cu- în care toate elementele care nu sunt de forma sunt nule. De exemplu:
Mai frecvent însă, termenul matrice diagonală se referă la matrici pătrate, care pot fi specificate explicit ca o . O matrice diagonală pătrată este o matrice simetrică, astfel încât poate fi numită și .
Următoarea matrice este o matrice diagonală pătrată:
Dacă elementele sunt numere reale sau numere complexe, atunci ea este și o matrice normală.
În restul articolului vom considera numai matrici diagonale pătrate și ne vom referi la ele, pe scurt, drept „matrici diagonale”.
Operatorul diag de la vector la matrice
O matrice diagonală poate fi construită dintr-un vector folosind operatorul :
Aceasta poate fi scrisă mai compact sub forma .
Același operator este folosit și pentru a reprezenta matrici diagonale pe blocuri, sub forma , unde fiecare argument este o matrice.
Operatorul poate fi scris astfel:
unde reprezintă produsul Hadamard, iar este vectorul constant ale cărui elemente sunt 1.
Operatorul diag de la matrice la vector
Operatorul invers, de la matrice la vector, , este notat uneori în același mod: unde argumentul este acum o matrice, iar rezultatul este vectorul elementelor de pe diagonala ei principală.
Se verifică următoarea proprietate:
Matrice scalară
O matrice diagonală cu elemente egale pe diagonală este o matrice scalară; adică un multiplu scalar al matricei unitate . Efectul ei asupra unui vector este înmulțirea scalară cu . De exemplu, o matrice scalară de ordinul 3 are forma:
Matricile scalare formează centrul algebrei matricilor: adică sunt exact matricile care comută cu toate celelalte matrici pătratice de același ordin. În schimb, peste un corp (precum numerele reale), o matrice diagonală cu toate elementele diagonale distincte comută numai cu matrici diagonale (centralizatorul ei este mulțimea matricilor diagonale). Aceasta deoarece, dacă o matrice diagonală are atunci, pentru o matrice cu termenii și sunt diferiți, deoarece (întrucât se poate împărți la ), deci ele nu comută decât dacă termenii din afara diagonalei sunt nuli. Matricile diagonale ale căror elemente diagonale nu sunt toate egale sau toate distincte au centralizatori intermediari între întregul spațiu și numai matricile diagonale.
Pentru un spațiu vectorial abstract (și nu spațiul vectorial concret ), analogul matricilor scalare este dat de transformările scalare. Acest lucru este valabil mai general pentru un modul peste un inel , cu algebra endomorfismelor (algebra operatorilor liniari pe ) în locul algebrei matricilor. Formal, înmulțirea scalară este o aplicație liniară, care induce o aplicație (de la un scalar la transformarea scalară corespunzătoare, adică înmulțirea cu ), punând în evidență ca o -algebră. Pentru spațiile vectoriale, transformările scalare sunt exact centrul unui inel|centrul algebrei endomorfismelor și, în mod similar, transformările scalare inversabile sunt centrul grupului liniar general . Prima afirmație este valabilă mai general pentru modulii liberi pentru care algebra endomorfismelor este izomorfă cu o algebră de matrici.
Operații cu vectori
Înmulțirea unui vector cu o matrice diagonală înmulțește fiecare termen cu elementul diagonal corespunzător. Fie o matrice diagonală și un vector ; atunci produsul este:
Acest lucru se poate exprima mai compact folosind un vector în locul unei matrici diagonale, , și luând produsul Hadamard al vectorilor (produs element cu element), notat :
Aceasta este echivalentă din punct de vedere matematic, dar evită stocarea tuturor termenilor nuli ai acestei matrici rare. Din acest motiv, produsul este folosit în învățare automată, de exemplu la calculul produselor derivatelor în retropropagare sau la înmulțirea ponderilor IDF în TF-IDF, deoarece unele cadre BLAS, care înmulțesc eficient matrici, nu includ în mod direct funcționalitatea de produs Hadamard.
Operații cu matrici
Operațiile de adunare de matrici și de înmulțire de matrici sunt deosebit de simple pentru matricile diagonale. Notăm cu o matrice diagonală ale cărei elemente de pe diagonală, începând din colțul stânga-sus, sunt . Atunci, pentru adunare, avem
iar pentru înmulțire de matrici,
Matricea diagonală este inversabilă dacă și numai dacă elementele sunt toate nenule. În acest caz, avem
În particular, matricile diagonale formează un subinel al inelului tuturor matricilor -cu-.
Înmulțirea unei matrice -cu- din stânga cu înseamnă înmulțirea liniei a -a din cu pentru toate ; înmulțirea matricei din dreapta cu înseamnă înmulțirea coloanei a -a din cu pentru toate .
Matricea operatorului în baza de vectori proprii
Așa cum se explică în determinarea coeficienților matricei operatorului, există o bază specială, , pentru care matricea are formă diagonală. Prin urmare, în ecuația definitorie , toți coeficienții cu sunt nuli, rămânând un singur termen în fiecare sumă. Elementele diagonale rămase, , se numesc valori proprii și sunt notate cu în ecuație, care se reduce la Ecuația rezultată se numește ecuație de valori proprii și este folosită pentru a deduce polinomul caracteristic și, mai departe, valorile și vectorii proprii.
Cu alte cuvinte, valorile proprii ale lui sunt , iar vectorii proprii asociați sunt .
Proprietăți
Determinantul lui este produsul . Adjugata unei matrici diagonale este tot diagonală. Dacă toate matricile sunt pătratice: O matrice este diagonală dacă și numai dacă este triunghiulară și normală. O matrice este diagonală dacă și numai dacă este atât triunghiulară superioară, cât și triunghiulară inferioară. O matrice diagonală este simetrică. Matricea unitate și matricea nulă sunt diagonale. O matrice de ordinul 1×1 este întotdeauna diagonală. Pătratul unei matrice 2×2 cu urma nulă este întotdeauna diagonal. Inversa unei matrici diagonale se obține prin înlocuirea fiecărui element diagonal cu inversul său.
Note
Referințe
Bibliografie G. CALUGAREANU, Lecții de algebră liniară, Litografia UBB, Cluj-Napoca, 1995. R. COVACI, Algebră și programare liniară, Litografia UBB, Cluj-Napoca, 1986. C. NASTASESCU, I. STANESCU, C. NITA, Matematică, Elemente de algebră superioară, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1995. I. PURDEA, I. POP, Algebră, Editura GIL, Zalău, 2003.
Categorie:Algebră liniară categorie:Matrice