Teorema Gauss–Bonnet, sau formula Gauss–Bonnet, este o teoremă importantă din domeniul suprafețelor, care face evidentă legătura dintre geometrie și topologie.
Forma locală Fie (U, h) o parametrizare semigeodezică, cu U homeomorfă cu un disc plan deschis, compatibilă cu orientarea suprafeței orientate S. Fie o regiune simplă și parametrizată canonic, pozitiv orientată astfel încât
Fie vârfurile lui unghiurile exterioare corespunzătoare,
Atunci are loc formula:
unde este curbura geodezică a arcelor diferențiale ale lui K este curbura gaussiană și este elementul de suprafață.
Demonstrație Fie (pe porțiunile diferențiale ale curbei). Avem:
Utilizăm următoarele leme:
Lema 1
Lema 2 Fie (U, h) o parametrizare ortogonală, X un câmp unitar pe și unghiul dintre și X. Atunci:
Demonstrația lemei.
Normăm câmpurile și :
Atunci și, conform lemei 1,
Legături externe
Wolfram MathWorld Maths.Manchester.ac.uk
Gauss-Bonnet, Teorema Categorie:Geometrie diferențială