Geometria dos números é a parte da Teoria dos números que utiliza a Geometria para o estudo de números algébricos. Tipicamente, um anel de inteiros algébricos é visto como uma rede em , e o estudo dessas redes fornece informações fundamentais sobre números algébricos.MSC classification, 2010, disponível em http://www.ams.org/msc/msc2010.html, Classification 11HXX. iniciou esta linha de pesquisa aos 26 anos em seu livro The Geometry of Numbers.
A geometria dos números tem uma estreita relação com outros campos da matemática, especialmente a análise funcional e a aproximação diofantina, o problema de encontrar números racionais que aproximam uma quantidade irracional.
Resultados de Minkowski Suponha que seja uma rede no espaço euclidiano -dimensional e seja um corpo convexo centralmente simétrico. Teorema de Minkowski, às vezes chamado de primeiro teorema de Minkowski, afirma que se , então contém um vetor não nulo em .
O mínimo sucessivo é definido como o inf dos números tais que contém vetores linearmente independentes de . O teorema de Minkowski sobre mínimos sucessivos, às vezes chamado de segundo teorema de Minkowski, é um fortalecimento do primeiro teorema e afirma queCassels (1971) p. 203
Pesquisas posteriores na geometria dos números Entre 1930 e 1960, pesquisas sobre a geometria dos números foram conduzidas por muitos teóricos dos números (incluindo Louis Mordell, Harold Davenport e Carl Ludwig Siegel). Em anos recentes, Lenstra, Brion e Barvinok desenvolveram teorias combinatórias que enumeram os pontos de rede em alguns corpos convexos.Grötschel et al., Lovász et al., Lovász, and Beck and Robins.
Teorema do subespaço de W. M. Schmidt
Na geometria dos números, o teorema do subespaço foi obtido por Wolfgang M. Schmidt em 1972.Schmidt, Wolfgang M. Norm form equations. Ann. Math. (2) 96 (1972), pp. 526–551. Veja também os livros de Schmidt; compare Bombieri e Vaaler e também Bombieri e Gubler. Ele estabelece que, se n é um inteiro positivo, e L1,...,Ln são formas lineares linearmente independentes em n variáveis com coeficientes algébricos e se ε>0 é qualquer número real dado, então os pontos inteiros não nulos x em n coordenadas com
pertencem a um número finito de subespaços próprios de Qn.
Influência na análise funcional A geometria dos números de Minkowski teve uma profunda influência na análise funcional. Minkowski provou que corpos convexos simétricos induzem normas em espaços vetoriais de dimensão finita. O teorema de Minkowski foi generalizado para espaço vetorial topológico por Kolmogorov, cujo teorema afirma que os conjuntos convexos simétricos que são fechados e limitados geram a topologia de um espaço de Banach.Para o teorema de normabilidade de Kolmogorov, veja Functional Analysis de Walter Rudin. Para mais resultados, veja Schneider, e Thompson e veja também Kalton et al.
Pesquisadores continuam a estudar generalizações para conjuntos estrelados e outros conjuntos não convexos.Kalton et al. Gardner
Bibliografia Matthias Beck, Sinai Robins. Computing the continuous discretely: Integer-point enumeration in polyhedra, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 2007.
J. W. S. Cassels. An Introduction to the Geometry of Numbers. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (reprint of 1959 and 1971 Springer-Verlag editions). John Horton Conway and N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, NY, 3rd ed., 1998. R. J. Gardner, Geometric tomography, Cambridge University Press, New York, 1995. Second edition: 2006. P. M. Gruber, Convex and discrete geometry, Springer-Verlag, New York, 2007. P. M. Gruber, J. M. Wills (editors), Handbook of convex geometry. Vol. A. B, North-Holland, Amsterdam, 1993. M. Grötschel, Lovász, L., A. Schrijver: Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization, Springer, 1988 (Republished in 1964 by Dover.) Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Geometric and Analytic Number Theory. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
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Categoria:Matemática