Infinito atual (do latim tardio actualis, "em ato") e infinito potencial (do latim tardio potentis, "de acordo com possibilidades ou a potência") designam duas modalidades nas quais o infinito pode existir ou ser concebido. Em primeiro lugar, trata da questão de saber se um domínio de cardinalidade infinita em todas as suas partes pode realmente existir em um dado momento, ou se em cada caso apenas certos elementos existem ou podem ser imaginados ou construídos (antirrealismo em relação ao infinito atual, como por exemplo no construtivismo da Escola de Erlangen), de modo que apenas o infinito potencial poderia realmente existir. Em segundo lugar, se a possibilidade em princípio do infinito atual for aceita, trata-se de quais seriam os objetos atualmente infinitos.

A formalização de ambos conceitos na filosofia tem origem em Aristóteles, dentro de sua teoria de atualidade e potencialidade. Para ele, o infinito atual não é um processo temporal, mas deve existir em ato e de todo a um dado momento, enquanto que o infinito potencial ocorre como processo sem fim ao longo do tempo, porém em objetos que atualmente são finitos. Nesse contexto, o infinito potencial ocorre particularmente em aplicações de infinita divisibilidade matemática, sem que no entanto o infinito potencial possa se tornar um infinito atual (por exemplo, um objeto com extensão infinita ou outras grandezas e conjuntos infinitos em ato).

Na história da filosofia e na ontologia contemporânea, entre outros possíveis objetos atualmente infinitos, discute-se sobre: um conjunto infinito de substâncias (por exemplo, átomos) ou unidades espaciais e temporais (em particular como um continuum espaço-tempo), uma infinita sequência de causas (cuja impossibilidade era uma das premissas para várias provas clássicas da Existência de Deus que argumentam pelo finitismo temporal), bem como o próprio Deus.

No campo da filosofia da matemática, isso se refere especialmente à questão da existência real de conjuntos com cardinalidade infinita, entre os quais, por exemplo, é contada a classe dos números naturais (que aqui pressupõe uma posição também chamada de "platonismo" em relação a objetos matemáticos). A posição antirrealista (que neste contexto é quase sempre construtivista) poderia ser formulada da seguinte forma: "Embora não haja número natural que seja o maior de todos, também não há conjunto completado de números naturais" (infinito potencial).Deiser, Oliver (2004). Einführung in die Mengenlehre. 2ª ed. Berlim: Springer. ISBN 3-540-20401-6, p. 23 A abstração do infinito atual envolve a aceitação (se o axioma do infinito for incluído) de entidades infinitas como objetos dados, reais e completos. Estes podem incluir o conjunto de números naturais, números reais estendidos, números transfinitos, ou mesmo uma sequência infinita de números racionais. O infinito atual deve ser contrastado com o infinito potencial, no qual um processo sem fim (como "adicionar 1 ao número anterior") produz uma sequência sem último elemento e em que cada resultado individual é finito e é alcançado em um número finito de passos. Como resultado, o infinito potencial é muitas vezes formalizado usando o conceito de limite.

História filosófica do conceito

Anaximandro O termo grego antigo para o infinito potencial ou impróprio era apeiron (ilimitado ou indefinido), em contraste com o infinito atual ou próprio aphorismenon. Apeiron se opõe ao que tem peras (limite). Essas noções são hoje denotadas por potencialmente infinito e atualmente infinito, respectivamente. Anaximandro (610–546 a.C.) sustentava que o apeiron era o princípio ou elemento principal que compunha todas as coisas. A noção de apeiron de Platão é mais abstrata, tendo a ver com variabilidade indefinida. Os principais diálogos em que Platão discute o 'apeiron' são os diálogos tardios Parmênides e o Filebo.

Aristóteles Aristóteles resume as visões de seus predecessores sobre o infinito da seguinte forma:"Somente os pitagóricos colocam o infinito entre os objetos dos sentidos (eles não consideram o número como separável destes), e afirmam que o que está fora do céu é infinito. Platão, por outro lado, sustenta que não há corpo fora (as Formas não estão fora porque não estão em lugar algum), mas que o infinito está presente não apenas nos objetos dos sentidos, mas também nas Formas."―Aristóteles, Física, 203aO tema foi apresentado pela consideração de Aristóteles do apeiron―no contexto da matemática e da física (o estudo da natureza):"O infinito acaba sendo o oposto do que as pessoas dizem que é. Não é 'aquilo que não tem nada além de si mesmo' que é infinito, mas 'aquilo que sempre tem algo além de si'."A crença na existência do infinito vem principalmente de cinco considerações:

"Da natureza do tempo―pois é infinito. Da divisão de grandezas―pois os matemáticos também usam a noção de infinito. Se o vir a ser e o deixar de ser não se esgotam, é apenas porque aquilo de que as coisas vêm a ser é infinito. Porque o limitado sempre encontra seu limite em algo, de modo que não deve haver limite, se tudo é sempre limitado por algo diferente de si mesmo. Acima de tudo, uma razão que é peculiarmente apropriada e apresenta a dificuldade que é sentida por todos―não apenas o número, mas também as grandezas matemáticas e o que está fora do céu devem ser infinitos porque nunca se esgotam em nosso pensamento."―Aristóteles, Física, 204a

A distinção potencial–atual aristotélica Aristóteles tratou do tema do infinito na Física e na Metafísica. Na ontologia de Aristóteles, a oposição de potencialidade e atualidade é fundamental, aplicando-se também a conjuntos de objetos.Aristóteles, Metafísica, livro 9, capítulo 6; Física, III. A um conjunto ao qual, em princípio, objetos infinitos podem ser adicionados, Aristóteles o chama "potencialmente" infinito. Do exposto ele distingue o conceito de um conjunto que realmente já contém objetos infinitos (por exemplo, uma multidão infinita de pessoas ou uma linha infinita). Segundo Aristóteles, o último é impossível, pelo que também rejeita a ideia de que um certo princípio infinito possa explicar plenamente a unidade da realidade finita. Segundo ele, o "infinito" refere-se apenas a "aquilo, fora do qual ainda há algo".Aristóteles. Física, livro 3, 207a1 Distingue-se, assim, o infinito atual e o infinito potencial: o infinito atual é completo e definido, e consiste em infinitos elementos. O infinito potencial nunca é completado: os elementos podem sempre ser adicionados, mas nunca infinitamente muitos.

Ele postulou que o infinito atual era impossível, porque se fosse possível, então algo teria alcançado magnitude infinita e seria "maior que os céus". No entanto, disse Aristóteles, a matemática relativa ao infinito não foi privada de sua aplicabilidade por essa impossibilidade, porque os matemáticos não precisavam do infinito para seus teoremas, apenas uma magnitude finita e arbitrariamente grande.

Aristóteles distinguiu entre infinito com respeito à adição e divisão. Ele também citou Platão, que também dividia em grande infinito aquele de extensão em direção ao máximo absoluto, enquanto o pequeno infinito era de acordo com a divisão ao mínimo absoluto:"Platão tem dois infinitos, o Grande e o Pequeno".―Aristóteles, Física, livro 3, capítulo 4, 203aAristóteles não rejeitava a existência de algum infinito, como afirma: "Supor que o infinito não existe de forma alguma leva claramente a muitos resultados impossíveis: o tempo terá um começo e um fim, uma magnitude não será divisível em magnitudes, o número não será infinito" (Física, livro 3, capítulo 6, 206a). Por isso introduziu a noção do infinito potencial como sendo nunca exaustivo, a exemplo de uma série potencialmente infinita de aumento, em que um número sempre pode ser adicionado após o outro na série que começa com 1, 2, 3... .

Com relação à divisão, uma sequência potencialmente infinita de divisões pode começar, por exemplo, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, mas o processo de divisão não pode ser esgotado ou concluído:"Pois o fato de que o processo de divisão nunca chega ao fim garante que essa atividade exista potencialmente, mas não que o infinito exista separadamente."Sattler, Barbara M. (2020). "Aristotle’s Notion of Continuity: The Structure Underlying Motion". In The Concept of Motion in Ancient Greek Thought: Foundations in Logic, Method, and Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press.―Aristóteles, Metafísica, livro 9, capítulo 6‘Ser’, então, pode significar ‘ser em potência’ ou ‘ser em ato’; e o infinito está ou em adição, ou em divisão. Afirmou-se que a magnitude não é em operação atual infinita; mas é infinita na divisão―não é difícil refutar linhas indivisíveis―de modo que resta ao infinito ser potencialmente."―Aristóteles, Física, livro 3, capítulo 6, 206aAristóteles também argumentou que os matemáticos gregos sabiam a diferença entre o infinito atual e um potencial, mas que eles "não precisam do infinito [atual] e não o usam" (Física III, 2079 29). O paradoxo da "Dicotomia" ou "Pista de Corrida" de Zenão forneceu motivos para Aristóteles rejeitar o infinito atual, de modo que postulou o infinito potencial como solução para que se superem as contradições da divisibilidade infinita no mundo."Para o movimento..., embora o continuum contenha um número infinito de metades, elas não são metades atuais, mas potenciais. (...) Portanto, à questão de saber se é possível passar por um número infinito de unidades de tempo ou de distância, devemos responder que em um sentido é e em um sentido não é. Se as unidades são atuais, não é possível: se são potenciais, é possível."―Aristóteles, Física, 263a-bEssa postura de se rejeitar o infinito atual continuou aceita pela maioria dos matemáticos e filósofos até o século XIX. Tal exclusão de um infinito atual foi frequentemente usada na filosofia da religião, tanto na antiguidade como na Idade Média, para provar a existência de Deus, porque desta forma nunca se pode concluir um progresso que em princípio possa ser realizado em um número infinito de passos. É por isso que uma explicação da realidade que começa com certos objetos, indica suas respectivas causas e continua assim sucessivamente é considerada impraticável. Em vez disso, supõe-se que Deus seja a primeira causa, que em si não faz parte de tal sequência causal. Assim, por exemplo, em Tomás de Aquino.Tomás de Aquino. Suma contra os Gentios I, 13 Seguindo o platonismo, Agostinho de Hipona identifica Deus diretamente com o infinito atual.Agostinho de Hipona. Da Cidade de Deus, 12 As discussões, tanto na Antiguidade quanto na Idade Média, sobre ontologia e filosofia da religião referem-se principalmente a essas bases.

Pensadores escolásticos, renascentistas e iluministas A historiografia da matemática medieval por muito tempo considerou que a maioria dos filósofos escolásticos aderiu ao lema Infinitum actu non datur. Isso significa que haveria apenas um infinito potencial (em desenvolvimento, impróprio, "sincategoremático"), mas não um infinito atual (fixo, próprio, "categoremático"), conforme Georg Cantor afirma sobre o período:"É bem sabido que na Idade Média todos os filósofos escolásticos defendem o "infinitum actu non datur" de Aristóteles como um princípio irrefutável."