miniaturadaimagem|Representação da energia potencial da ligação iônica do cloreto de sódio. Em azul, o termo de atração eletrostática; em vermelho, o termo de repulsão eletrônica da equação de Born-Landé e, em roxo, o da equação de Born-Mayer; em amarelo, a energia potencial resultante da equação de Born-Landé e, em verde, a de Born-Mayer, com o mínimo correspondente à energia reticular associada ao comprimento de ligação . A equação de Born-Mayer permite calcular de forma teórica a energia reticular () de um cristal iônico. Foi deduzida pelo físico alemão Max Born e pelo químico norte-americano Joseph Edward Mayer em 1932, como um aprimoramento da equação de Born-Landé deduzida pelo mesmo Max Born e por Alfred Landé em 1918. A equação da energia reticular é a seguinte:
denotando-se por:
o número de Avogadro; a constante de Madelung, relativa à geometria da rede cristalina; a carga dos cátions numa fórmula mínima em unidades de carga elementar; a carga dos ânions numa fórmula mínima em unidades de carga elementar; a carga elementar; a constante eletrostática do vácuo; a distância entre os núcleos atômicos dos íons mais próximos (m); um coeficiente que quantifica a repulsão entre nuvens eletrônicas.
Dedução
Termo de atração e repulsão eletrostática (energia de Madelung)
Nesse termo, incluem-se todas as atrações e repulsões eletrostáticas entre íons: atrações entre cargas de diferente sinais e repulsões entre cargas de mesmo sinal; contabilizam-se as interações entre todos os íons, não apenas entre os mais próximos. É o mesmo termo utilizado na equação de Born-Landé e foi obtido em 1918 pelo físico alemão Erwin Madelung.
Termo de repulsão eletrostática Born e Mayer deduziram essa equação a partir de considerações da mecânica quântica. O termo equivalente ao da equação de Born-Landé havia sido obtido com base no modelo atômico de Bohr, que supunha que as densidade eletrônica ao redor do núcleo atômico eram homogênia. Com o desenvolvimento da mecânica quântica Schrödinger criou um novo modelo atômico, considerando o elétron como uma onda. Esse modelo indica que as densidade eletrônica decai exponencialmente à medida que a distância ao núcleo atômico aumenta. Devido a isso, a contribuição da repulsão à energia reticular também deve decair exponencialmente com a distância, o que não era contemplado na primeira equação de Born. A fórmula dessa nova energia potencial de repulsão para qualquer raio foi escrita em função do coeficiente ρ como uma função exponencial do número de euler:S'ha escrit el nombre en diferent tipus de lletra i en color verd per diferenciar-lo de la constant , que representa la càrrega elemental.
Energia reticular Energias reticulares de halogênios: valores experimentais obtidos com o ciclo de Born-Haber
e valores teóricos obtidos com a equação
de Born-Mayer (kcal/mol)HalogênioValor experimental do ciclo de Born-HaberValor teórico da equação de Born-MayerFluoreto de lítio, LiF241,2240,1Cloreto de lítio, LiCl198,2199,2Brometo de lítio, LiBr188,5188,3Iodeto de lítio, LiI175,4174,1Fluoreto de sódio, NaF216,0213,4Cloreto de sódio, NaCl184,7183,1Brometo de sódio, NaBr175,9174,6Iodeto de sódio, NaI164,5163,9Fluoreto de potássio, KF191,5189,7Cloreto de potássio, KCl166,8165,4A energia total do cristal é a soma dos dois termos, o de atração e o de repulsão, em função da distância dos íons e para 1 mol do composto:
em que é uma constante.
A energia reticular () corresponde ao valor mínimo dessa energia. Pode-se obter esse valor igualando a zero a derivada da expressão em função de r:
de onde se obtém o valor da constante do termo de repulsão:
Substituindo esse valor na equação da energia total, obtém-se finalmente a fórmula de Born-Mayer:
Ver também
Equação de Born-Landé Equação de Kapustinskii Ciclo de Born-Haber Constante de Madelung
Categoria:Ligações químicas Categoria:Química do estado sólido Categoria:Física do estado sólido