Na teoria dos números, uma partição multiplicativa ou fatoração não ordenada de um número inteiro é uma maneira de escrever como um produto de inteiros maiores que 1, tratando dois produtos como equivalentes se eles diferirem apenas na ordem dos fatores. O próprio número é considerado um desses produtos. As partições multiplicativas são muito paralelas ao estudo das partições multipartidas, que são partições aditivas de sequências finitas de inteiros positivos, com a adição feita ponto a ponto. Embora o estudo das partições multiplicativas esteja em andamento pelo menos desde 1923, o nome "partição multiplicativa" parece ter sido introduzido por . O nome em latim "factorisatio numerorum" havia sido usado anteriormente. O MathWorld usa o termo unordered factorization (fatoração não ordenada).
Exemplos O número 20 possui quatro partições multiplicativas: 2 × 2 × 5, 2 × 10, 4 × 5 e 20. 3 × 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 9, 3 × 27, 9 × 9 e 81 são as cinco partições multiplicativas de 81 = 34. Por ser a quarta potência de um número primo, 81 tem o mesmo número (cinco) de partições multiplicativas que 4 tem de partições aditivas. O número 30 possui cinco partições multiplicativas: 2 × 3 × 5 = 2 × 15 = 6 × 5 = 3 × 10 = 30. Em geral, o número de partições multiplicativas de um número livre de quadrados com fatores primos é o -ésimo Número de Bell, .
Aplicação descrevem uma aplicação das partições multiplicativas na classificação de inteiros com um determinado número de divisores. Por exemplo, os inteiros com exatamente 12 divisores assumem as formas , , e , onde , e são números primos distintos; essas formas correspondem às partições multiplicativas , , e , respectivamente. Mais genericamente, para cada partição multiplicativa
do inteiro , corresponde uma classe de inteiros que possuem exatamente divisores, da forma
onde cada é un primo distinto. Essa correspondência decorre da propriedade multiplicativa da função divisor.
Limites no número de partições credita a o problema de contar o número de partições multiplicativas de ; desde então, esse problema tem sido estudado por outros sob o nome em latim de factorisatio numerorum. Se o número de partições multiplicativas de é , McMahon e Oppenheim observaram que sua função geradora de Série de Dirichlet possui a representação em produto
A sequência de números começa com
Oppenheim também reivindicou um limite superior para , da forma
mas como mostraram, esse limite está incorreto e o limite verdadeiro é
Ambos os limites não estão longe de ser lineares em : eles são da forma . No entanto, o valor típico de é muito menor: o valor médio de , calculado ao longo de um intervalo , é
um limite que é da forma .
Resultados adicionais observam, e provam, que a maioria dos números não pode surgir como o número de partições multiplicativas de algum : o número de valores menores que que surgem dessa maneira é . Adicionalmente, Luca et al. mostram que a maioria dos valores de não são múltiplos de : o número de valores tais que divide é .
Ver também Divisor Partição (teoria dos números)
Referências , capítulo 12
Leitura adicional
Ligações externas
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