Em álgebra linear, uma matriz nilpotente é uma matriz quadrada N tal que
para algum número inteiro positivo O menor valor satisfazendo a condição anterior é chamado de índice de e às vezes de grau de
Mais geralmente, uma transformação nilpotente é uma transformação linear de um espaço vetorial tal que para algum número inteiro positivo (e assim, para todo ) Ambos os conceitos são casos especiais de um conceito mais geral de nilpotência que se aplica a elementos de anéis.
Exemplos
Exemplo 1 A matriz
é nilpotente com índice 2, uma vez que
Exemplo 2 Mais geralmente, qualquer matriz triangular de ordem com zeros ao longo da diagonal principal é nilpotente, com índice Por exemplo, a matriz
é nilpotente, com
O índice de é, portanto, igual 4.
Exemplo 3 Embora os exemplos acima tenham um grande número de entradas nulas, uma matriz nilpotente típica não tem. Por exemplo,
embora a matriz não tenha entradas nulas.
Exemplo 4 Além disso, quaisquer matrizes da forma
ou
têm quadrado nulo.
Exemplo 5 Talvez alguns dos exemplos mais marcantes de matrizes nilpotentes sejam as matrizes quadradas da forma:
As primeiras de tais matrizes são as seguintes:
Essas matrizes são nilpotentes, mas não há qualquer entrada nula em nenhuma potência com expoente menor do que o índice.
Caracterização Para uma matriz quadrada, de ordem com entradas reais (ou complexas), as seguintes afirmações são equivalentes:
é nilpotente. O polinômio característico de é O polinômio minimal de é para algum número inteiro positivo O único autovalor complexo de é 0. tr(Nk) = 0 para todo
O último teorema é verdadeiro para matrizes sobre qualquer corpo de característica 0, ou de característica suficientemente grande. (cf. Identidades de Newton)
Este teorema tem várias consequências, incluindo:
O índice de um matriz nilpotente de ordem n é sempre menor ou igual a n. Por exemplo, toda matriz nilpotente de ordem tem quadrado nulo. O determinante e o traço de uma matriz nilpotente são sempre zero. Consequentemente, uma matriz nilpotente não pode ser invertida. A única matriz diagonalizável nilpotente é a matriz nula.
Classificação Considere a matriz de deslocamento:
Essa matriz tem 1s ao longo da superdiagonal e 0s em todas as outras entradas. Como uma transformação linear, a matriz de deslocamento "desloca" os componentes de um vetor uma posição para a esquerda, com um zero aparecendo na última posição:
Esta matriz é nilpotente com grau , e é a matriz nilpotente canônica.
Especificamente, se é qualquer matriz nilpotente, então é semelhante a uma matriz diagonal em blocos da forma
em que cada um dos blocos é uma matriz de deslocamento (possivelmente de tamanhos diferentes). Essa forma é um caso especial da forma canônica de Jordan para matrizes.
Por exemplo, qualquer matriz nilpotente não nula de ordem 2 × 2 é semelhante à matriz
Em outras palavras, se é qualquer matriz 2 × 2 nilpotente não nula, então existe uma base b1, b2 de modo que Nb1 = 0 e Nb2 = b1 .
Este teorema de classificação vale para matrizes sobre qualquer corpo. (Não é necessário que o corpo seja algebricamente fechado.)
Bandeira de subespaços Uma transformação nilpotente em determina naturalmente uma bandeira de subespaços
e uma assinatura
A assinatura caracteriza salvo por uma transformação linear invertível. Além disso, ela satisfaz as desigualdades
Reciprocamente, qualquer sequência de números naturais que satisfaça essas desigualdades é a assinatura de alguma transformação nilpotente.
Propriedades adicionais
Se é nilpotente, então e são invertíveis, onde é a matriz identidade. Os inversos são dados porDesde que seja nilpotente, ambas as somas convergem, visto que apenas um número finito de termos é diferente de zero. Se é nilpotente, então em que denota a matriz identidade. Por outro lado, se é uma matriz e para todos os valores de então é nilpotente. Na verdade, como é um polinômio de grau n, é suficiente que isso valha para valores distintos de Toda matriz singular pode ser escrita como um produto de matrizes nilpotentes.R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, Linear and Multilinear Algebra, Vol. 56, No. 3 Uma matriz nilpotente é um caso especial de uma matriz convergente.
Generalizações Um operador linear é localmente nilpotente se para cada vetor existe algum tal que
Para operadores em um espaço vetorial de dimensão finita, a nilpotência local é equivalente à nilpotência.
Notas
Referências
Ligações externas
Nilpotent matrix e nilpotent transformation no PlanetMath Categoria:Matrizes