Linearidade é a propriedade de uma relação matemática ( função ) que pode ser representada graficamente como uma linha reta. A linearidade está intimamente relacionada à proporcionalidade . Os exemplos em física incluem a relação linear de tensão e corrente em um condutor elétrico ( lei de Ohm ) e a relação de massa e peso . Por outro lado, relacionamentos mais complicados são não lineares .
Generalizada para funções em mais de uma dimensão, linearidade é a propriedade que uma função tem de ser compatível com adição e escalonamento, também chamado de princípio de superposição .
A palavra linear tem origem no latim linearis, "pertencente a ou semelhante a uma linha".
Na matemática Em matemática, um mapa linear ou função linear f ( x ) é uma função que satisfaz as duas propriedades (princípio de superposição):
Aditividade : . Homogeneidade de grau 1: para todo α.
Nesta definição, x não é necessariamente um número real, mas pode em geral ser um elemento de qualquer espaço vetorial . Uma definição mais especial de função linear, não coincidindo com a definição de mapa linear, é usada em matemática elementar (veja abaixo).
Aditividade por si só implica homogeneidade para α racional, uma vez que implica para qualquer número natural n por indução matemática, e então implica . A densidade dos números racionais em reais implica que qualquer função contínua aditiva é homogênea para qualquer número real α e, portanto, linear.
O conceito de linearidade pode ser estendido para operadores lineares. Exemplos importantes de operadores lineares incluem a derivada considerada como um operador diferencial e outros operadores construídos a partir dela, como del e o Laplaciano . Quando uma equação diferencial pode ser expressa na forma linear, geralmente pode ser resolvida dividindo a equação em partes menores, resolvendo cada uma dessas partes em separado e somando as soluções.
Álgebra linear é o ramo da matemática preocupado com o estudo de vetores, espaços vetoriais (também chamados de 'espaços lineares'), transformações lineares (também chamados de 'mapas lineares') e sistemas de equações lineares.
Para obter uma descrição das equações lineares e não lineares, consulte equação linear .
Polinômios lineares Em um uso diferente da definição acima, um polinômio de grau 1 é dito ser linear, porque o gráfico de uma função dessa forma é uma linha reta. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals, 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. , Section 1.2
Sobre os reais, uma equação linear é uma das formas:
onde m é freqüentemente chamado de declive ou gradiente (coeficiente linear); b a interceptação y, que fornece o ponto de intersecção entre o gráfico da função e o eixo y .
Observe que esse uso do termo linear não é o mesmo que na seção acima, porque polinômios lineares sobre os números reais não satisfazem em geral a aditividade ou homogeneidade. Na verdade, eles fazem isso se e somente se . Conseqüentemente, se , a função é freqüentemente chamada de função afim (ver em maior generalidade transformação afim ).
Funções booleanas Na álgebra booleana, uma função linear é uma função para o qual existem de tal modo que
, Onde
Observe que se , a função acima é considerada afim na álgebra linear (ou seja, não linear).
Uma função booleana é linear se uma das seguintes opções for válida para a tabela verdade da função:
Em cada linha em que o valor verdade da função é T, há um número ímpar de Ts atribuídos aos argumentos, e em cada linha em que a função é F há um número par de Ts atribuídos aos argumentos. Especificamente, , e essas funções correspondem a mapas lineares sobre o espaço vetorial Booleano. Em cada linha em que o valor da função é T, há um número par de Ts atribuídos aos argumentos da função; e em cada linha em que o valor verdade da função é F, há um número ímpar de Ts atribuídos aos argumentos. Nesse caso,
Em outras palavras, cada variável sempre faz diferença no valor de verdade da operação ou nunca faz diferença.
Negação, Lógica bicondicional, exclusiva ou, tautologia e contradição são funções lineares.
Física Na física, a linearidade é uma propriedade das equações diferenciais que governam muitos sistemas físicos; por exemplo, as equações de Maxwell ou a equação de difusão .
Linearidade de uma equação diferencial homogênea significa que se duas funções f e g são soluções da equação, então qualquer combinação linear é, também.
Na instrumentação, linearidade significa que uma dada mudança em uma variável de entrada dá a mesma mudança na saída do aparelho de medição: isso é altamente desejável em trabalhos científicos. Em geral, os instrumentos são quase lineares em uma determinada faixa e mais úteis nessa faixa. No entanto, os sentidos humanos por sua vez são altamente não lineares: por exemplo, o cérebro ignora completamente a luz que entra, a menos que ela exceda um certo número limite absoluto de fótons.
Ver também
Atuador linear Elemento linear Sistema linear Meio linear Programação linear Equação diferencial linear Bilinear Multilinear Motor linear Scripts Linear A e Linear B. Interpolação linear
Categoria:Conceitos fundamentais da física Categoria:Álgebra elementar