Em matemática, a subaditividade é uma propriedade de uma função que afirma, grosso modo, que avaliar a função para a soma de dois elementos do domínio sempre retorna algo menor ou igual à soma dos valores da função em cada elemento. Existem inúmeros exemplos de funções subaditivas em várias áreas da matemática, particularmente normas e raízes quadradas . Mapas aditivos são casos especiais de funções subaditivas.

Definições Uma função subaditiva é uma função , com um domínio A e um codomain B ordenado, ambos fechados em adição, com a seguinte propriedade:

Um exemplo é a função de raiz quadrada, com números reais não negativos como domínio e codomain, pois temos:

Uma sequência , é chamado subaditivo se satisfizer a desigualdade

para todos m e n . Este é um caso especial de função subaditiva, se uma sequência for interpretada como uma função no conjunto de números naturais.

Propriedades

Sequências Um resultado útil referente a sequências subaditivas é o seguinte lema devido a Michael Fekete .

Lema Subaditivo de Fekete: Para cada sequência subaditiva , o limite existe e é igual ao mínimo . (O limite pode ser . )

O análogo do lema de Fekete também vale para seqüências superaditivas, ou seja: (O limite pode ser infinito positivo: considere a sequência . )

Existem extensões do lema de Fekete que não exigem que a desigualdade (1) seja válida para todos m e n, mas apenas para m e n de modo que Além disso, a condição pode ser enfraquecido da seguinte forma: providenciou que é uma função crescente, de modo que a integral converge (próximo ao infinito).

Há também resultados que permitem deduzir a taxa de convergência ao limite cuja existência é afirmado no lema de Fekete se algum tipo de ambos superaditividade e sub aditividade está presente. Michael J. Steele.

Além disso, os análogos do lema de Fekete foram comprovados para mapas reais subaditivos (com suposições adicionais) de subconjuntos finitos de um grupo favorável , e ainda mais, de um semigrupo de esquerda cancelável.

Funções Teorema: Hille 1948, Theorem 6.6.1. Para cada função subaditiva mensurável o limite existe e é igual a (O limite pode ser )

Se f for uma função subaditiva e se 0 estiver em seu domínio, então f (0) ≥ 0. Para ver isso, pegue a desigualdade no topo. . Consequentemente

Uma função côncava com também é subaditivo. Para ver isso, primeiro observa-se que . Então, olhando a soma deste limite para e , finalmente verificará se f é subaditivo.

O negativo de uma função subaditiva é superaditivo .

Exemplos em vários domínios

Entropia A entropia desempenha um papel fundamental na teoria da informação e na física estatística, bem como na mecânica quântica em uma formulação generalizada devido a von Neumann . A entropia aparece sempre como uma quantidade subaditiva em todas as suas formulações, o que significa que a entropia de um super-sistema ou de uma união de variáveis aleatórias é sempre menor ou igual à soma das entropias de seus componentes individuais. Além disso, a entropia na física satisfaz várias desigualdades mais estritas, como a Subaditividade Forte da Entropia na mecânica estatística clássica e seu análogo quântico.

Economia A subaditividade é uma propriedade essencial de algumas funções de custo específicas. É, geralmente, uma condição necessária e suficiente para a verificação de um monopólio natural . Isso implica que a produção de apenas uma empresa é socialmente menos cara (em termos de custos médios) do que a produção de uma fração da quantidade original por um número igual de empresas.

Economias de escala são representadas por funções de custo médio subaditivo.

Exceto no caso de bens complementares, o preço dos bens (em função da quantidade) deve ser subaditivo. Caso contrário, se a soma do custo de dois itens for mais barata que o custo do pacote de dois deles juntos, ninguém jamais comprará o pacote, fazendo com que o preço do pacote "se torne" a soma dos preços de os dois itens separados. Provando assim que não é uma condição suficiente para um monopólio natural; uma vez que a unidade de troca pode não ser o custo real de um item. Essa situação é familiar a todos na arena política, onde alguma minoria afirma que a perda de alguma liberdade específica em um determinado nível de governo significa que muitos governos são melhores; enquanto a maioria afirma que existe outra unidade de custo correta.  

Finança A subaditividade é uma das propriedades desejáveis de medidas coerentes de risco no gerenciamento de riscos . A intuição econômica por trás da subaditividade da medida de risco é que uma exposição ao risco da carteira deve, na pior das hipóteses, simplesmente igual à soma das exposições ao risco das posições individuais que compõem a carteira. Em qualquer outro caso, os efeitos da diversificação resultariam em uma exposição da carteira menor que a soma das exposições individuais ao risco. A falta de subaditividade é uma das principais críticas dos modelos de VaR que não se baseiam na suposição de normalidade dos fatores de risco. O VaR gaussiano garante subaditividade: por exemplo, o VaR gaussiano de um portfólio de duas posições longas unitárias no nível de confiança ou seja, assumindo que a variação do valor médio da carteira seja zero e o VaR seja definido como uma perda negativa,

Onde é o inverso da função de distribuição cumulativa normal no nível de probabilidade , são as posições individuais retorna variações e é a medida de correlação linear entre os retornos de duas posições individuais. Como a variação é sempre positiva,

Assim, o VaR gaussiano é subaditivo para qualquer valor de e, em particular, é igual à soma das exposições individuais ao risco quando que é o caso de nenhum efeito de diversificação no risco da carteira.

Termodinâmica A subaditividade ocorre nas propriedades termodinâmicas de soluções e misturas não ideais, como o volume molar em excesso e o calor da misura ou entalpia em excesso.

Combinatória em palavras Uma linguagem fatorial é aquele em que se houver uma palavra , todos os fatores dessa palavra também estão em . Na combinatória de palavras, um problema comum é determinar o número de comprimento palavras em uma linguagem fatorial. Claramente , tão é subaditivo e, portanto, o lema de Fekete pode ser usado para estimar o crescimento de

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Referências

Categoria:Análise matemática