+ Diagrama comutativo da condição de naturalidade de
Na teoria das categorias, uma adjunção é uma tripla consistindo de dois functores , e uma família de isomorfismos
natural em ; a condição de naturalidade é expressa por para cada , e , ou equivalentemente por para cada , e .
Nesse caso, é dito adjunto esquerdo a , e é dito adjunto direito a , e escreve-se .
Segundo Saunders Mac Lane, "functores adjuntos são onipresentes". Com efeito, vários conceitos da matemática, como grupos livres, corpo de quocientes e completação de espaços métricos são casos particulares do conceito de adjunção.
Unidade e counidade Dada adjunção , a unidade e a counidade são, respectivamente, transformações naturais , , com componentes:
para cada . Têm-se as igualdades para cada , além de para cada .
Isto implica as identidades triangulares, isto é, os dois diagramas abaixo comutam:
Caracterizações alternativas Por setas universais Seja functor . Supõe-se que, para cada , há objeto e seta universal de ao functor , isto é, representação
Então, existe única adjunção tal que para cada e tal que são as componentes da unidade.
Dualmente, dado functor tal que, para cada , há objeto , e seta universal do functor a , existe única adjunção tal que para cada e tal que são as componentes da counidade.
Por unidade e counidade Sejam functores , , e supõe-se que há transformações naturais , satisfazendo as identidades triangulares acima. Então, existe única adjunção que tem como unidade e como counidade.
Exemplos O functor , levando cada grupo ao correspondente conjunto de elementos, tem adjunto esquerdo , que leva cada conjunto ao grupo livre em ; isto é, .Veja também a propriedade universal do grupo livre. A unidade é a "inserção de geradores",Isto é, a injeção canônica de que leva um elemento na palavra . e a counidade é a "avaliação de expressões".Isto é, o mapa que manda uma palavra no seu correspondente elemento em : Denote por a categoria de espaços métricos e isometrias, e por a subcategoria plena de espaços métricos completos. Então, a inclusão tem adjunto esquerdo , levando cada espaço métrico a sua completação. A unidade é a "inclusão na completação", e a counidade evidencia que cada espaço métrico completo é a sua própria completação. Cada pré-ordem pode ser considerada como uma categoria em que tem no máximo um elemento, e tem um precisamente quando . Um functor entre pré-ordens é então uma função crescente. Uma adjunção entre pré-ordens é chamada conexão de Galois:A unidade e a counidade correspondem às desigualdades , , respectivamente. Quando a pré-ordem é uma ordem parcial, as identidades triangulares implicam e . Eis exemplos de conexões de Galois: Dada função , há uma adjunção entre a imagem e a pré-imagem:para cada , . Seja extensão de corpo . Para cada corpo intermediário , denota-se por o conjunto dos automorfismos de fixando cada elemento de , e, para cada subgrupo , denota-se por o corpo dos elementos de que são fixados por cada automorfismo em . Então,Este exemplo, proveniente da teoria de Galois, é o que nomeia o conceito.
Propriedades Adjunção e limites Dada adjunção , o adjunto direito preserva os limites de cada . A demonstração se resume na sequência de isomorfismos naturais:
Dualmente, o adjunto esquerdo preserva todos os colimites.
Unicidade do functor adjunto Dadas adjunções e , existe único isomorfismo natural comutando com as unidades e as counidades: , .
Composição de adjunções A composição de duas adjunções e é a adjunção: .
Transformações de adjunções Dadas adjunções e , um mapeamento da primeira adjunção à segunda é uma dupla de functores , tal que: É diagrama comutativo: Alguma das (logo cada uma das) três condições a seguir vale: . . Para cada , é diagrama comutativo:
Dadas adjunções , (entre as mesmas categorias), duas transformações naturais e são ditas conjugadas (para as dadas adjunções), ou formam um morfismo entre as adjunções, quando alguma das (logo cada uma das) condições a seguir vale: Para cada , é diagrama comutativo: é igual à composta . é igual à composta . . . Dada transformação natural , há exatamente uma transformação natural que é conjugada a . Similarmente, determina unicamente .
Adjunções de duas variáveis Dado functor , tal que, para cada , o functor tem adjunto direito , existe único functor tal que para cada e tal que os isomorfismos são naturais nas três variáveis ; a tupla consistindo dos functores , e do isomorfismo natural é chamada adjunção com parâmetro .
Adicionalmente, se, para cada , também tem adjunto direito, similarmente há isomorfismos naturais diz-se, assim, que há uma adjunção de duas variáveis (não "três variáveis").
Adjuntos fiéis e plenos Numa adjunção : é fiel se e só se cada é epimorfismo; é pleno se e só se cada é seção; é pleno e fiel se e só se cada é isomorfismo. Com efeito, denotando-se por a composta que é o mapeamento , é fiel (respectivamente pleno) se e só se cada é injetivo (respectivamente sobrejetivo), isto é, cada é epimorfismo (respectivamente seção).
Dualmente, é fiel se e só se cada é monomorfismo; é pleno se e só se cada é retração; é pleno e fiel se e só se cada é isomorfismo.
Em particular, uma equivalência adjunta é precisamente uma adjunção entre functores plenos e fiéis.
Subcategoria reflexiva Uma subcategoria de uma categoria é dita reflexiva quando é subcategoria plena e a inclusão admite adjunto esquerdo , chamado refletor. (Alguns autores não exigem que a subcategoria seja plena.) Já que a inclusão é functor pleno e fiel, a counidade é isomorfismo (o refletor "fixa" cada objeto de ).
Como exemplo, a categoria dos espaços compactos de Hausdorff é subcategoria reflexiva da categoria dos espaços topológicos; o refletor leva cada espaço a sua compactificação de Stone–Čech.
Dualmente, uma subcategoria plena é correflexiva quando a inclusão tem adjunto direito. Por exemplo, a subcategoria plena dos grupos abelianos de torção (isto é, os grupos abelianos nos quais todo elemento tem ordem finita) é correflexiva na categoria dos grupos abelianos.
Nota de terminologia: Alguns autores trocaram os significados de "reflexiva" e "correflexiva".
Mônade associada
Cada adjunção associa-se a uma mônade, de endofunctor , de unidade e de multiplicação .
Existência de adjuntos O teorema do functor adjunto de Freyd diz que, dada categoria pequeno-completa, na qual todos os conjuntos são pequenos, e dada categoria qualquer, um functor tem adjunto esquerdo se e só se é pequeno-contínuo e satisfaz: Para cada , existe conjunto pequeno e família de setas tal que, para cada seta , há tais que .
O teorema especial do functor adjunto diz que, dada categoria pequeno-completa e com conjuntos pequenos, e dada categoria com conjuntos pequenos, tais que tem família cosseparadora pequena e toda coleção de monomorfismos de mesmo contradomínio em tem produto fibrado (isto é, toda coleção de subobjetos tem ínfimo), então cada functor pequeno-contínuo e preservando os produtos fibrados de monomorfismos tem adjunto esquerdo.
Uma versão alternativa, de hipóteses mais restritivas, é: Dada categoria pequeno-completa, com conjuntos pequenos, com cosseparador pequeno e tal que, para cada , a coleção de subobjetos de pode ser indexada por um conjunto pequeno, e dada categoria com conjuntos pequenos, um functor tem adjunto esquerdo se e só se é pequeno-contínuo.
Os teoremas são consequências dos teoremas da existência de objeto inicial.
A seguir, exemplos de aplicações desses teoremas. Denota-se por o functor "esquecidiço". Pode-se mostrar que estritamente cria todos os limites pequenos, logo é pequeno-contínuo e é pequeno-completa. É claro que tem conjuntos pequenos. Seja conjunto pequeno. Seja família de representantes das classes de isomorfismo de grupos que podem ser gerados por no máximo elementos. As inclusões dos geradores satisfazem a condição requerida. Segue que tem adjunto esquerdo, e a existência de grupos livres. Denota-se por o functor de inclusão, da categoria dos espaços compactos de Hausdorff à categoria dos espaços topológicos. Pode-se mostrar que a categoria dos espaços compactos de Hausdorff é pequeno-completa (usa-se o teorema de Tychonoff para mostrar a existência de produtos), e claramente ambas têm conjuntos pequenos. O lema de Urysohn implica que é cosseparador para . As outras hipóteses são facilmente verificadas. Segue que tem adjunto esquerdo, chamado compactificação de Stone–Čech.
Bibliografia
Categoria:Teoria das categorias