A carta de Smith (também conhecida como diagrama de Smith, carta de Volpert–Smith ou carta de Mizuhashi) é um nomograma circular amplamente utilizado na engenharia de radiofrequência (RF) para solucionar problemas em linhas de transmissão e circuitos de casamento de impedância. A ferramenta mapeia o coeficiente de reflexão complexo () sobre uma malha ortogonal de impedâncias elétricas normalizadas ().
Como a impedância normalizada é uma grandeza complexa, a carta projeta duas famílias fundamentais de curvas: círculos de resistência constante () e arcos de reatância constante (). As cartas convencionais cobrem circuitos passivos nos quais a resistência é não negativa (). Regiões externas ao círculo unitário () correspondem a resistências negativas, conceito aplicado no projeto de osciladores e na análise de estabilidade de amplificadores.
A representação gráfica permite a avaliação simultânea de múltiplos parâmetros de RF, tais como admitância, parâmetros de espalhamento (), figuras de ruído e regiões de estabilidade operacional.
Embora o traçado manual em papel tenha sido substituído por ferramentas computacionais dedicadas, o formato da carta de Smith permanece como padrão na interface gráfica de softwares de simulação eletromagnética e analisadores de redes vetoriais (VNA) para a visualização das variações de impedância em função da frequência.
História
A carta de Smith surgiu no final da década de 1930 a partir de trabalhos independentes conduzidos por Tōsaku Mizuhashi, Amiel R. Volpert e Phillip H. Smith. Antes da consolidação internacional do nome de Smith por volta de 1950, o diagrama era identificado por diferentes designações em publicações acadêmicas.
Tōsaku Mizuhashi (水橋東作) propôs a estrutura gráfica em 1937 no Japão, enquanto Amiel R. Volpert () na União Soviética e Phillip H. Smith nos Estados Unidos propuseram modelos equivalentes de forma autônoma em 1939.
Smith desenvolveu inicialmente diagramas retangulares antes de adotar um sistema de coordenadas polares em 1936. Com a colaboração de seus colegas Enoch B. Ferrell e James W. McRae nos Laboratórios Bell, familiarizados com mapeamentos conformes, a representação foi aperfeiçoada para sua geometria definitiva no início de 1937 e publicada formalmente em janeiro de 1939.
Smith denominou a ferramenta originalmente de "calculadora de linhas de transmissão" (transmission line chart). Na literatura inicial, surgiram termos como "diagrama de reflexão", "diagrama circular de impedância" e "carta de imitância". Durante a década de 1940, pesquisadores do Laboratório de Radiação do MIT popularizaram a denominação Smith chart, que se tornou o termo padrão no Ocidente a partir de 1950.
Visão geral
A carta de Smith mapeia a impedância elétrica normalizada no coeficiente de reflexão complexo por meio de uma transformação de Möbius. Impedâncias com parte real positiva (cargas passivas) situam-se no interior do círculo unitário, enquanto valores com parte real negativa situam-se no exterior da fronteira circular.
thumb|alt=Instrumento de teste eletrônico exibindo a curva da carta de Smith na tela.|Um analisador de redes vetorial exibindo dados de medição na tela em formato de carta de Smith.
Para uma carta de impedância (carta Z), a relação matemática fundamental é expressa por:
onde representa a impedância complexa normalizada pela impedância de referência do sistema .
As cartas podem exibir impedância normalizada (carta Z), admitância normalizada (carta Y) ou a combinação de ambas (carta ZY). Nas cartas mistas ZY, cores distintas identificam as respectivas malhas ortogonais.
A borda periférica externa contém escalas graduadas em comprimentos de onda () e graus angulares (). A escala em comprimentos de onda quantifica deslocamentos físicos ao longo da linha de transmissão em circuitos de elementos distribuídos, enquanto a escala angular expressa o ângulo de fase do coeficiente de reflexão.
Por operar com valores normalizados, a carta de Smith aplica-se a qualquer impedância característica de referência. O ponto central representa a impedância de casamento (, tipicamente 50 Ω). Para obter os valores absolutos de impedância ou admitância, multiplica-se a leitura da carta por ou . O coeficiente de reflexão é adimensional e lido diretamente nas coordenadas polares do gráfico.
Em análises de circuitos com elementos concentrados ou distribuídos, traça-se um único ponto para frequências pontuais em aplicações de faixa estreita (tipicamente 5–10% de largura de banda). Em análises de faixa larga, a união de múltiplos pontos em diferentes frequências gera um lugar geométrico contínuo, evidenciando o comportamento indutivo ou capacitivo do circuito e o grau de descasamento ao longo do espectro operacional.
Base matemática
thumb|upright=1.3|alt=Diagrama mostrando a propagação de uma onda em linha de transmissão até a carga.|Uso básico da carta de Smith de impedância. Uma onda propaga-se por uma linha com impedância característica em direção à carga (normalizada como ). A onda refletida possui coeficiente de reflexão , relacionado à impedância normalizada por .
Normalização
Dada uma linha de transmissão com impedância característica e admitância característica , qualquer impedância de carga ou admitância é normalizada pela divisão pelo respectivo valor de referência:
Como a impedância é expressa em ohms (Ω) e a admitância em siemens (S), a normalização cancela as unidades físicas, resultando em quantidades adimensionais compatíveis com o traçado na carta de Smith.
Coeficiente de reflexão e propagação em linha
thumb|alt=Animação demonstrando pulsos de tensão refletidos em terminações de linha aberta e em curto-circuito.|Linhas de transmissão terminadas em circuito aberto (acima) e em curto-circuito (abaixo). O pulso é totalmente refletido em ambas as condições, porém com polaridades de tensão opostas.
Quando uma linha de transmissão é terminada por uma impedância de carga distinta de sua impedância característica , a superposição da onda incidente (direta) e da onda refletida estabelece uma onda estacionária.
Na notação fasorial complexa, medindo-se a distância a partir da carga () em direção ao gerador:
onde e representam as amplitudes complexas de tensão na terminação. A dependência temporal é omitida em regime permanente senoidal.
A constante de propagação complexa é definida como:
onde é a constante de atenuação (em nepers por metro) e é a constante de fase (em radianos por metro).
Variação ao longo da linha
thumb|alt=Gráfico polar mostrando um círculo centrado na origem da carta de Smith que representa ROE constante ao longo da linha.|À medida que o comprimento de uma linha sem perdas aumenta, a impedância de entrada descreve um círculo de razão de onda estacionária (ROE) constante na carta de Smith.
O coeficiente de reflexão de tensão complexo é definido como a razão entre a onda refletida e a onda incidente:
onde é uma constante de integração.
Em linhas com perdas (), o coeficiente traça uma espiral convergente em direção ao centro da carta conforme cresce. Em linhas de transmissão ideais sem perdas (), a equação simplifica-se para:
onde é o coeficiente de reflexão na carga e é o comprimento de onda guiado na linha.
Como a rotação de fase completa radianos ocorre para uma variação de distância , os valores de coeficiente de reflexão e impedância repetem-se a cada meio comprimento de onda. A escala externa da carta de Smith é graduada de a .
Equação da impedância de entrada
Sendo e a tensão e a corrente totais na terminação da linha:
A divisão dessas expressões estabelece a relação biunívoca entre a impedância de carga normalizada e o coeficiente de reflexão :
Como e são grandezas adimensionais complexas, os valores são traçados no plano polar. Cargas puramente passivas satisfazem , ocupando o interior do círculo unitário.
A substituição de na equação da impedância resulta na clássica equação de impedância de entrada de uma linha de transmissão:
Na carta de Smith, essa transformação equivale a descrever uma trajetória circular centrada na origem que passa por , deslocando-se no sentido horário ("em direção ao gerador") pela leitura da escala perimétrica de comprimentos de onda.
Geometria da carta Z
Regiões da carta Os ângulos polares são medidos no sentido anti-horário a partir do semi-eixo real horizontal positivo. O eixo horizontal central representa impedâncias puramente resistivas (), estendendo-se do curto-circuito (, à esquerda) até o circuito aberto (, à direita), passando pelo centro de casamento (). O semiplano superior corresponde a impedâncias indutivas (), enquanto o semiplano inferior abrange impedâncias capacitivas ().
O perímetro externo delimitado por contém reatâncias puras ().
Círculos de resistência e arcos de reatância constantes Decompondo a impedância normalizada em suas componentes real e imaginária como :
Ao isolar os parâmetros e no plano complexo , obtêm-se as equações canônicas de duas famílias ortogonais de círculos:
Círculos de resistência constante: centrados em com raio . Arcos de reatância constante: centrados em com raio .
Conversão entre impedância e admitância
No projeto de redes de casamento de impedância, é frequente a alternância entre componentes em série (analisados mais facilmente em termos de impedância ) e componentes em paralelo (analisados em termos de admitância ).
A conversão gráfica de um ponto de impedância normalizada para sua respectiva admitância normalizada corresponde a uma rotação de 180° em torno da origem sobre o mesmo raio de módulo de reflexão. Por exemplo, o ponto de impedância () projeta-se no ponto diametralmente oposto ().
+ Pontos equivalentes de impedância e admitância normalizadas Impedância normalizada () Admitância normalizada ()
thumb|alt=Carta de Smith exibindo pontos rotacionados em 180 graus para demonstrar a conversão entre impedância e admitância.|Pontos de coeficiente de reflexão em uma carta Z e seus equivalentes rotacionados em 180° em uma carta Y.
Elementos de circuito e topologia
Componentes conectados em série somam-se diretamente em impedância (), enquanto elementos em paralelo somam-se em admitância ().
As expressões para os componentes passivos fundamentais normalizados são:
onde é a impedância característica de referência.
Exemplos de plotagem
thumb|alt=Carta de Smith com pontos P1, P2 e P3 plotados em diferentes coordenadas polares.|Exemplos de pontos plotados em uma carta de Smith de impedância normalizada.
Um coeficiente de reflexão expresso na forma polar como é mapeado no ponto : na coordenada angular de 60° na escala perimétrica externa e a uma distância radial de 0,63 do centro geométrico.
+ Exemplos de pontos plotados na carta de Smith de impedância normalizada Ponto Coeficiente de reflexão (polar) Impedância normalizada (retangular) (indutivo) (indutivo) (capacitivo)
Aplicações
A carta de Smith é empregada tanto na análise de circuitos de dimensões comparáveis a frações apreciáveis do comprimento de onda (componentes distribuídos) quanto em circuitos eletricamente pequenos (elementos concentrados). O limite prático situa-se em torno de 5% do comprimento de onda da frequência de trabalho: acima desse patamar, os efeitos de propagação e defasagem exigem o emprego de formulações distribuídas.
Casamento com componentes distribuídos
Em sistemas de componentes distribuídos, o deslocamento físico ao longo da linha de transmissão altera a fase do coeficiente de reflexão e a impedância de entrada, efeito quantificado diretamente na escala perimétrica externa da carta.
O exemplo a seguir ilustra o casamento de impedância de uma terminação arbitrária em uma frequência única, utilizando um elemento reativo posicionado a uma distância precisa da carga.