Na teoria das categorias, limites e colimites generalizam diversas construções, sendo produtos e coprodutos uns de seus mais simples casos particulares.
Definição Sejam categorias, a primeira chamada categoria de índices, e functor . Aqui, para cada , denota-se por o functor constante, definido por: para cada ; para cada morfismo em .
Cones Um cone do vértice ao functor é uma transformação natural , e, dualmente, um cone de ao vértice é uma transformação natural . Em símbolos:
A condição de naturalidade para cones de a é para cada em , ou seja,
e cones de a satisfazem a condição dual.
Adicionalmente, temos functor (e analogamente ); para cada , leva uma transformação natural de componentes a uma de componentes .
Limites e colimites Em cada representação
o objeto é chamado de limite de ; o correspondente elemento universal é chamado cone limitante. Noutras palavras, é cone limitante se e só se, para cada outro cone , há precisamente uma seta tal que para cada .
Dualmente, numa representação
o objeto é chamado de colimite de , e o elemento universal é chamado cone colimitante.
Limites e colimites são únicos a menos de isomorfismo (pelo Lema de Yoneda), e são denotados respectivamente por , .
Exemplos Um limite para um functor é chamado: produto quando é categoria discreta (isto é, todos os seus morfismos são identidades). No caso de produtos binários, a representação acima se reduz a:onde são as imagens de nos dois objetos de . objeto terminal quando é vazia. A representação acima se reduz a:onde é conjunto de exatamente um elemento. equalizador quando (duas identidades, e outros dois morfismos paralelos que não são identidades). produto fibrado (ou pullback) quando .
Dualmente, um colimite para é chamado: coproduto quando é discreta. objeto inicial quando é vazia. coequalizador quando . coproduto fibrado (ou pushout) quando .
Quando a categoria é uma pré-ordem, o limite de um functor é o ínfimo . o colimite de um functor é o supremo .
Existência Categorias completas e cocompletas Uma categoria é dita (pequeno-)completa se e só se, para cada categoria pequena , todo functor tem limite. Dualmente, é (pequeno-)cocompleta se e só se todo functor tal que é categoria pequena tem colimite.
Se tem todos os produtos pequenos e todos os equalizadores (de duplas de morfismos), então é completa. Com efeito, um limite de é o domínio do equalizador:
em que as duas setas paralelas são definidas por (abaixo, denota as projeções dos produtos):
e o cone limitante tem componentes para cada .
Na categoria dos conjuntos A categoria dos conjuntos pequenos é pequeno-completa e pequeno-cocompleta. Há fórmulas explícitas para os limites e os colimites de um functor :
onde é a menor relação de equivalência satisfazendo (abaixo, denota as inclusões no coproduto):
para cada e .
Adjunção com o functor diagonal Δ O functor tem adjunto direito se e só se admite todos os limites indexados por , e tem adjunto esquerdo se e só se admite todos os limites indexados por :
, .
Neste caso, , isto é, os operadores limite e colimite podem ser estendidos a functores .
Functores e limites Um functor : preserva os limites de se e só se, para cada cone limitante , também é cone limitante. reflete os limites de se e só se, para cada cone tal que é cone limitante, também é cone limitante. cria os limites de um functor tal que tem limite se e só se também tem limite, e preserva e reflete os limites de . estritamente cria os limites de se e só se, para cada cone limitante , há único e cone tal que , e ainda mais este é cone limitante.
(Mac Lane usa o termo cria em vez de estritamente cria.) Há definições análogas para a preservação, reflexão e criação de colimites.
Um functor é dito (pequeno-)contínuo (respectivamente cocontínuo) quando preserva todos os limites pequenos (respectivamente colimites pequenos).
Os functores são sempre contínuos. Assim, têm-se isomorfismos:
Propriedades Limites pontualmente Um limite de um functor existe precisamente quando cada functor tem limite (onde é a aplicação em ), e neste caso o limite é um functor tal que é limite de para cada .
Limites comutam Seja functor tal que, para cada , tem limite. Então, esses limites formam um functor , que tem limite precisamente quando tem limite.
Em particular, quando os limites abaixo existem, há isomorfismo .
Troca de limite com colimite Para cada functor , há uma seta "canônica" , quando existem os limites e colimites adequados. Se é a categoria dos conjuntos, uma das situações nas quais essa seta é isomorfismo é quando é categoria finita e é categoria filtrada (isto é, cada functor com finita tem cone a algum objeto de ); brevemente, limites finitos comutam com colimites filtrados na categoria dos conjuntos.
Bibliografia
Ligações externas
Categoria:Teoria das categorias