Em matemática, o algoritmo de Borwein é um algoritmo desenvolvido por Jonathan Borwein e Peter Borwein para calcular o valor de 1/. Desenvolveram diversos outros algoritmos. Publicaram o livro Pi and the AGM – A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity.Jonathon M. Borwein, Peter B. Borwein, Pi and the AGM – A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity, Wiley, New York, 1987. Many of their results are available in: Jorg Arndt, Christoph Haenel, Pi Unleashed, Springer, Berlin, 2001,
Série de Ramanujan–Sato Estes dois são exemplos de séries de Ramanujan–Sato. O relacionado algoritmo de Chudnovsky usa um discriminante com classe número 1.
Número classe 2 (1989)
Iniciando com
Então
Cada termo adicional da soma parcial fornece aproximadamente 25 dígitos.
Número classe 4 (1993) Iniciando com
Então
Cada termo adicional da soma parcial fornece aproximadamente 50 dígitos.
Algoritmos iterativos
Convergência quadrática (1984) Iniciando com
Então iterar
Então pk converge quadraticamente para ; isto é, cada iteração dobra aproximadamente o número de dígitos corretos. O algoritmo não é auto-corretivo; cada iteração deve ser feita com o número desejado de dígitos corretos para o resultado final de .
Convergência cúbica (1991) Iniciando com
Então iterar
Então ak converge cubicamente para 1/; isto é, cada iteração aproximadamente triplica o número de dígitos corretos.
Convergência quártica (1985)
Iniciando com
Então iterar
Então ak converge quarticamente para 1/; isto é, cada iteração aproximadamente quadruplica o número de dígitos corretos. O algoritmo não é auto-corretivo; cada iteração deve ser feita com o número desejado de dígitos corretos para o resultado final de .
Convergência quíntica Iniciando com
Então iterar
Então ak converge quinticamente para 1/ (isto é, cada iteração aproximadamente quintuplica o número de dígitos corretos), e a seguinte condição é verificada:
Convergência de ordem nove
Iniciar com
Então iterar
Então ak converge nonicamente para 1/; isto é,cada iteração aproximadamente multiplica por nove o número de dígitos corretos.
Ver também Fórmula BBP Algoritmo de Chudnovsky Algoritmo de Gauss-Legendre Séries de Ramanujan–Sato
Ligações externas Pi Formulas from Wolfram MathWorld
Categoria:Algoritmos de cálculo de Pi