thumb|Um feixe de átomos de prata eletricamente neutros passa através do campo magnético inomogêneo do experimento de Stern-Gerlach e se divide em dois, onde cada um corresponde a um valor de spin possível do elétron mais externo do átomo de prata. Na mecânica quântica, um sistema de dois estados (também conhecido como sistema de dois níveis) é um sistema quântico que pode existir em qualquer superposição quântica de dois estados quânticos independentes (fisicamente distinguíveis). O espaço de Hilbert que descreve tal sistema é bidimensional. Portanto, uma base completa que abrange o espaço consistirá em dois estados independentes. Qualquer sistema de dois estados também pode ser visto como um qubit.

Os sistemas de dois estados são os sistemas quânticos mais simples de interesse, uma vez que a dinâmica de um sistema de um estado é trivial (pois não há outros estados nos quais o sistema possa existir). A estrutura matemática necessária para a análise de sistemas de dois estados é a das equações diferenciais lineares e da álgebra linear de espaços bidimensionais. Como resultado, a dinâmica de um sistema de dois estados pode ser resolvida analiticamente sem qualquer aproximação. O comportamento genérico do sistema é que a amplitude da função de onda oscila entre os dois estados.

Um exemplo bem conhecido de um sistema de dois estados é o spin de uma partícula de spin-1/2, como um elétron, cujo spin pode ter valores +ħ/2 ou −ħ/2, onde ħ é a constante de Planck reduzida.

O sistema de dois estados não pode ser usado como uma descrição de absorção ou decaimento, porque tais processos requerem acoplamento a um continuum. Tais processos envolveriam o decaimento exponencial das amplitudes, mas as soluções do sistema de dois estados são oscilatórias.

Soluções analíticas para energias de estado estacionário e dependência do tempo

Representação Supondo que os dois estados de base disponíveis do sistema sejam e , em geral o estado pode ser escrito como uma superposição desses dois estados com amplitudes de probabilidade ,

Como os estados de base são ortonormais, onde e é o delta de Kronecker, então . Esses dois números complexos podem ser considerados coordenadas em um espaço de Hilbert complexo bidimensional. Assim, o vetor de estado correspondente ao estado é e os estados de base correspondem aos vetores de base, e

Se o estado for normalizado, a norma do vetor de estado é a unidade, isto é, .

Todas as grandezas físicas observáveis, como a energia, estão associadas a operadores hermitianos. No caso da energia e do Hamiltoniano correspondente, , isso significa

isto é, e são reais, e . Assim, esses quatro elementos de matriz produzem uma matriz hermitiana 2×2,

A equação de Schrödinger independente do tempo afirma que ; substituindo em termos dos estados de base acima e multiplicando ambos os lados por ou produz-se um sistema de duas equações lineares que pode ser escrito na forma matricial,

ou , que é um problema de autovalores e autovetores de matriz 2×2. Como mencionado acima, essa equação vem da inserção de um estado geral na equação de Schrödinger independente do tempo. Lembre-se de que a equação de Schrödinger independente do tempo é uma condição restritiva usada para especificar os autoestados. Portanto, ao inserir um estado geral nela, estamos vendo qual forma o estado geral deve assumir para ser um autoestado. Fazendo isso e distribuindo, obtemos , o que exige que ou seja zero ( não pode ser igual a e , as energias dos estados individuais, que são, por definição, diferentes). Ao definir ou como 0, apenas um estado permanece, e é a energia do estado sobrevivente. Este resultado é um lembrete redundante de que a equação de Schrödinger independente do tempo só é satisfeita por autoestados de H, que são (por definição do vetor de estado) os estados onde todos os coeficientes, exceto um, são zero. Agora, se seguirmos a mesma derivação, mas antes de atuar com o Hamiltoniano nos estados individuais, multiplicarmos ambos os lados por ou , obteremos um sistema de duas equações lineares que podem ser combinadas na equação matricial acima. Como antes, isso só pode ser satisfeito se ou for zero, e quando isso acontecer, a constante será a energia do estado restante. A equação matricial acima deve, portanto, ser interpretada como uma condição restritiva em um vetor de estado geral para produzir um autovetor de , de forma exatamente análoga à equação de Schrödinger independente do tempo.

É claro que, em geral, comutar a matriz com um vetor de estado não resultará no mesmo vetor multiplicado por uma constante E. Para validade geral, deve-se escrever a equação na forma com as energias dos autoestados individuais ainda dentro do vetor produto. Em ambos os casos, a matriz hamiltoniana pode ser derivada usando o método especificado acima, ou através do método mais tradicional de construir uma matriz usando condições de contorno; especificamente, usando a exigência de que, quando atua sobre qualquer estado de base, deve retornar esse estado multiplicado pela energia desse estado. (Não há condições de contorno sobre como ele atua em um estado geral). Isso resulta em uma matriz diagonal com os elementos da diagonal sendo as energias dos autoestados e os elementos fora da diagonal sendo zero. A forma da matriz acima que usa Hamiltonianos entre bra-kets é uma versão mais generalizada dessa matriz.

Pode-se perguntar por que é necessário escrever a matriz hamiltoniana em uma forma tão geral com Hamiltonianos entre bra-kets, uma vez que deve sempre ser igual a zero e deve sempre ser igual a . A razão é que, em alguns problemas mais complexos, os vetores de estado podem não ser autoestados do Hamiltoniano usado na matriz. Um lugar onde isso ocorre é na teoria das perturbações degenerada, onde os elementos fora da diagonal são diferentes de zero até que o problema seja resolvido por diagonalização.

Devido à hermiticidade de , os autovalores são reais; ou melhor, reciprocamente, é a exigência de que as energias sejam reais que implica a hermiticidade de . Os autovetores representam os estados estacionários, isto é, aqueles para os quais a magnitude absoluta dos quadrados das amplitudes de probabilidade não muda com o tempo.

Autovalores do Hamiltoniano A forma mais geral de uma matriz hermitiana 2×2, como o Hamiltoniano de um sistema de dois estados, é dada por

onde e são números reais com unidades de energia. Os níveis de energia permitidos do sistema, ou seja, os autovalores da matriz hamiltoniana, podem ser encontrados da maneira usual.

De forma equivalente, essa matriz pode ser decomposta como, Aqui, e são números reais. A matriz é a matriz identidade 2×2 e as matrizes com são as matrizes de Pauli. Essa decomposição simplifica a análise do sistema, especialmente no caso independente do tempo, onde os valores de e são constantes.

O Hamiltoniano pode ser ainda mais condensado como

O vetor é dado por e é dado por . Esta representação simplifica a análise da evolução temporal do sistema e é mais fácil de usar com outras representações especializadas, como a Esfera de Bloch.

Se o Hamiltoniano independente do tempo do sistema de dois estados for definido como acima, então seus autovalores são dados por . Evidentemente, α é a energia média dos dois níveis, e a norma de é o desdobramento (separação) entre eles. Os autovetores correspondentes são denotados como e .

Dependência do tempo Assumimos agora que as amplitudes de probabilidade são dependentes do tempo, embora os estados de base não sejam. A equação de Schrödinger dependente do tempo estabelece que e, procedendo como antes (substituindo e pré-multiplicando por ) novamente produz um par de equações lineares acopladas, mas desta vez elas são equações diferenciais parciais de primeira ordem: . Se for independente do tempo, existem várias abordagens para encontrar a dependência temporal de , como modos normais. O resultado é que onde é o vetor de estado em . Aqui, a exponencial de uma matriz pode ser encontrada a partir da expansão em série. A matriz é chamada de matriz de evolução temporal (que compreende os elementos de matriz do operador de evolução temporal correspondente ). É facilmente provado que é unitária, o que significa que .

Pode-se mostrar que onde

Quando se muda a base para os autovetores do Hamiltoniano, ou seja, se os estados de base forem escolhidos para serem os autovetores, então e e assim o Hamiltoniano é diagonal, isto é, e tem a forma,

Agora, é fácil ver que o operador de evolução temporal unitário é dado por: O fator apenas contribui para a fase global do operador e geralmente pode ser ignorado para produzir um novo operador de evolução temporal que é fisicamente indistinguível do operador original. Além disso, qualquer perturbação ao sistema (que terá a mesma forma que o Hamiltoniano) pode ser adicionada ao sistema na base de autoestados do Hamiltoniano não perturbado e analisada da mesma maneira que acima. Portanto, para qualquer perturbação, os novos autovetores do sistema perturbado podem ser resolvidos exatamente, como mencionado na introdução.

Fórmula de Rabi para uma perturbação estática Suponha que o sistema inicie em um dos estados de base em , digamos , de modo que , e estejamos interessados na probabilidade de ocupação de cada um dos estados de base como uma função do tempo quando é o Hamiltoniano independente do tempo.

A probabilidade de ocupação do estado é . No caso do estado inicial, e, a partir de cima, Consequentemente,

Obviamente, devido à condição inicial. A frequência é chamada de frequência de Rabi generalizada, é chamada de frequência de Rabi, e é chamada de desafinação (detuning).

Com desafinação nula (zero detuning), , isto é, há uma oscilação de Rabi da ocupação garantida do estado 1 para a ocupação garantida do estado 2 e de volta ao estado 1, etc., com frequência . À medida que a desafinação aumenta a partir de zero, a frequência da oscilação aumenta (para ) e a amplitude de excitação do elétron diminui para .

Para Hamiltonianos dependentes do tempo induzidos por ondas de luz, veja os artigos sobre o Ciclo de Rabi e a Aproximação de onda girante.

Alguns sistemas de dois estados importantes

Precessão em um campo

Considere o caso de uma partícula de spin-1/2 em um campo magnético . O Hamiltoniano de interação para este sistema é onde é a magnitude do momento magnético da partícula e é o vetor das matrizes de Pauli. A resolução da equação de Schrödinger dependente do tempo fornece onde e . Fisicamente, isso corresponde ao vetor de Bloch precessando em torno de com frequência angular . Sem perda de generalidade, suponha que o campo seja uniforme e aponte para , de modo que o operador de evolução temporal seja dado como

Pode-se ver que tal operador de evolução temporal atuando em um estado de spin geral de uma partícula de spin-1/2 levará à precessão em torno do eixo definido pelo campo magnético aplicado (este é o equivalente na mecânica quântica da Precessão de Larmor).

O método acima pode ser aplicado à análise de qualquer sistema genérico de dois estados que esteja interagindo com algum campo (equivalente ao campo magnético no caso anterior) se a interação for dada por um termo de acoplamento apropriado que seja análogo ao momento magnético. A precessão do vetor de estado (que não precisa ser um giro físico como no caso anterior) pode ser vista como a precessão do vetor de estado na Esfera de Bloch.

A representação na esfera de Bloch para um vetor de estado será simplesmente o vetor dos valores esperados . Como exemplo, considere um vetor de estado que é uma superposição normalizada de e , isto é, um vetor que pode ser representado na base como