Na matemática, o teorema inverso de Fourier diz que, para muitos tipos de funções, é possível recuperar uma função a partir de sua transformada de Fourier. Intuitivamente, pode ser visto como a prova de que se sabemos frequência e fase de uma onda, podemos reconstruir sua onda original com precisão.
O teorema diz que se temos uma função satisfazendo certas condições, e usarmos a convenção para a transformada de Fourier de que
Em outras palavras, o teorema diz que
Esta última equação é chamado o teorema integral de Fourier.
Outra forma de enunciar o teorema é notar que, se é o operador de giro i.e. , então
O teorema é válido quando ambos e a sua transformada de Fourier, são absolutamente integráveis (no sentido de Lebesgue) e é contínua no ponto . No entanto, mesmo sob condições mais genéricas do teorema da inversa de Fourier ele ainda funciona. Nestes casos, as integrais acima talvez não façam sentido, ou o teorema pode manter por quase todos os , ao invés do que para todos os .
Prova Nesta seção, vamos definir que é integrável e contínua. Use a convenção para a transformada de Fourier, que
Além disso, assumimos que a transformada de Fourier também é integrável.
Inversa de Fourier como uma integral A prova mais comum para o teorema da transformada inversa de Fourier é provar a transformada inversa como uma integral. Para qualquer função integrável e todo definir
Em seguida, para todo temos
Teorema integral de Fourier O teorema pode ser reescrito como
Se for avaliada real, em seguida, tomando a parte real de cada lado acima obtemos
Transformada inversa em termos do operador de giro Para qualquer função definir o operador de giroAn operator is a transformation that maps functions to functions. por
Então podemos definir
É imediata a partir da definição da transformada de Fourier, e pelo operador de giro que tanto e coincidem com a definição de integral e , em particular, são iguais entre si e satisfazem .
Note-se também que, desde que nós temos e
Inversão de dois lados A forma do teorema de Fourier mencionada acima, é também comum como
Em outras palavras, é uma inversão esquerda para a transformação de Fourier. No entanto, ele é também uma inversão direita para a transformada de Fourier, por exemplo:
Desde que seja tão semelhante a , isso segue facilmente o teorema da inversa de Fourier (mudança de variáveis ):
Alternativamente, isto pode ser visto a partir da relação entre o operador de giro e a associatividade ' a da composição de funções , desde que
Condições da função Quando pensamos em física e engenharia, o teorema inverso de Fourier, é muitas vezes usado sob a suposição de que tudo "funciona bem". Em matemática, argumentos tão heurísticos não são aceitos, e o teorema inverso de Fourier inclui uma especificação explícita de que classe de funções está sendo permitido. No entanto, não exista a "melhor" classe de funções para considerar tão diversas variantes do teorema inverso de Fourier com conclusões plausíveis.
Funções Schwartz O teorema inverso de Fourier vale para todas as funções Schwartz (grosseiramente falando, funções suaves que decaem rapidamente e cujas derivadas também tem decadência rápida). Esta condição tem a vantagem de que é uma prova direta e simples sobre a função (em oposição à imposição de uma condição a sua transformada de Fourier), e a integral que define a transformada de Fourier e sua inversa são absolutamente integráveis. Esta versão do teorema é usado em prova do teorema da inversa de Fourier para uma distribuição temperada (ver abaixo).
Funções integráveis com transformada de Fourier integrável O teorema da inversa de Fourier vale para todas as funções contínuas que são absolutamente integráveis (p.ex. ) com absolutamente integráveis transformadas de Fourier. Isso inclui todas as funções Schwartz, sendo deste modo uma forma mais forte do teorema do que o anterior mencionada. Essas condições têm a vantagem de que as integrais que definem a transformada de Fourier e sua inversa são absolutamente integráveis. Esta condição é a usada acima, na seção de prova.
Uma pequena variante é ignorar a condição de que a função seja contínua, mas ainda verificar se suas e sua transformada de Fourier são absolutamente integráveis. Então em quase toda parte onde é uma função contínua, e para cada .
Funções integráveis em uma dimensão Definida por parte, suave; uma dimensão Se a função for absolutamente integrável em uma dimensão (por exemplo, ) e for definida por partes, suave, então uma versão do teorema da trasnformada inversa funciona. Neste caso, definimos
então para todo
ex. é igual a média dos limites direito e esquerdo de em . Note, que nos pontos em que é contínua, isto simplesmente é igual a .
Uma analogia dimensionalmente superior desta forma do teorema ainda persiste, mas de acordo com Folland (1992), é "bastante delicado e não muito útil". Definida por partes, contínua; uma dimensão Se a função for absolutamente integrável em uma dimensão (por exemplo, ), mas apenas por partes, contínua, então o teorema inverso de Fourier ainda é utilizavel. Neste caso, a integral da trasnformada inversa de Fourier é definida com o auxílio de uma função suave em vez de uma função cortante afiada; especificamente, definimos
A conclusão do teorema, em seguida, é a mesma que para o definido por partes, continuo, caso discutido acima. Contínua; qualquer número de dimensões Se é contínua e absolutamente integrável em , então o teorema inverso de Fourier ainda persiste enquanto definirmos a transformada inversa como uma função suave com um corte p.ex.
A conclusão é agora simplificada para todo
Nenhuma condição de regularidade; qualquer número de dimensões Se eliminarmos todas as suposições sobre a continuidade de (definida por partes), e assumirmos, apenas, que é absolutamente integrável, então o teorema ainda funciona. A transformada inversa é novamente definida uma função suave com corte, mas com a conclusão de que
para quase todo .
Funções quadráticas integráveis Neste caso a transformada de Fourier não pode ser definida diretamente como uma integral pois não pode ser absolutamente convergente, então em vez disso, é definida por densidade de argumento (consulte o artigo da trasnformada de Fourier ). Colocando, por exemplo,
podemos definir onde o limite é tomado na norma de . A transformada inversa pode ser definida pela densidade da mesma forma ou pela transformada de Fourier, e pelo operador de giro. Temos, então:
para quase todo .
Distribuições temperadas A transformada de Fourier pode ser definida dentro do espaço de distribuições temperadas pela dualidade da transformada de Fourier no espaço das funções de Schwartz. Especificamente para e para todas as funções de teste definimos
onde é definida utilizando a fórmula integral. Se é uma função de , então concorda com a definição normal. Podemos definir a transformada inversa, pela dualidade a partir da transformada inversa, nas funções de Schwartz funciona da mesma maneira, ou definindo-o em termos do operador de giro (onde o operador de giro é definido pela dualidade). Temos, então:
Relação à série de Fourier Quando se considera a série de Fourier de uma função, é convencionado redimensionar-la de modo que pertença ao intervalo (ou é periódica). Nesta seção, todavia, utilizamos uma convenção incomum fazendo pertencer a , ainda que coincidisse com a convenção da transformada de Fourier utilizada aqui. O teorema inverso de Fourier é análogo para a convergência da série de Fourier. No caso da transformada de Fourier , temos:
No caso da série de Fourier temos:
Em particular, em uma dimensão é simplesmente um número inteiro e a soma é executado de a .
Aplicações miniaturadaimagem|400x400px|Alguns problemas, tais como certas equações diferenciais, tornam-se mais fáceis de resolver quando a transformada de Fourier é aplicada. Nesse caso, a solução para o problema original é recuperado usando a inversa de Fourier. Em aplicações da transformada de Fourier, o teorema da inversa de Fourier, muitas vezes, desempenha um papel fundamental. Em muitas situações, a estratégia básica é aplicar a transformada de Fourier, executando alguma operação ou simplificação e, em seguida, aplicando a inversa da transformada de Fourier.
De forma mais abstrata, o teorema da inversa de Fourier é uma afirmação sobre a transformada de Fourier como um operador (consulte a transformada de Fourier em função de espaços). Por exemplo, o teorema da inversa de Fourier na mostra que a transformada de Fourier é um operador unitário em .
Propriedades da transformada inversa A inversa de Fourier é extremamente semelhante a transformada original de Fourier: como discutido acima, difere apenas na aplicação de um operador de giro. Por este motivo as propriedades da transformada de Fourier persistem para a inversa de Fourier, tais como o teorema de Convolução e o tensor de Riemann–Lebesgue lema.
Tabelas de transformadas de Fourier podem ser facilmente utilizadas para a transformada inversa de Fourier, por comporem a função com o operador de giro. Por exemplo, olhando a transformada de Fourier da função rect vemos que:
O correspondente para a transformada inversa é:
Prova A prova utiliza alguns fatos. Se e , então. Se e , então . Para e em , o teorema de Fubini implica que . Definir ; em seguida, Definir . Em seguida, com denota convolução, é uma aproximação à identidade: para qualquer contínua e o ponto , (onde a convergência é ponto fixo). Primeiro note que, uma vez que, por hipótese, , então segue-se pela teorema da convergência dominada que
Defini-se . A aplicação dos fatos 1, 2 e 4 obtemos
Usando o fato 3 acima sobre e temos
a convolução de com uma identidade aproximada. Mas desde que o fato 5 diz que
Juntando os fatos acima temos que
Notas
Referências
Categoria:Funções generalizadas