thumb|O estado de uma corda vibrante pode ser modelado como um ponto num espaço de Hilbert. A decomposição de uma corda vibrante nas suas vibrações em diferentes harmônicos é dada pela projeção do ponto sobre os eixos de coordenadas no espaço.
Na matemática, um espaço de Hilbert é um espaço com produto interno real ou complexo que é também um espaço métrico completo em relação à métrica induzida pelo produto interno. Ele generaliza a noção de espaço euclidiano para dimensões infinitas. O produto interno, que é o análogo do produto escalar do cálculo vetorial, permite que comprimentos e ângulos sejam definidos. Além disso, a completude significa que existem limites suficientes no espaço para permitir o uso das técnicas do cálculo. Um espaço de Hilbert é um caso especial de um espaço de Banach.
Os espaços de Hilbert foram estudados a partir da primeira década do século XX por David Hilbert, Erhard Schmidt e Frigyes Riesz. Eles são ferramentas indispensáveis nas teorias de equações diferenciais parciais, mecânica quântica, análise de Fourier (que inclui aplicações ao processamento de sinais e à transferência de calor) e na teoria ergódica (que forma a base matemática da termodinâmica). John von Neumann cunhou o termo espaço de Hilbert para o conceito abstrato que subjaz a muitas destas diversas aplicações. O sucesso dos métodos dos espaços de Hilbert inaugurou uma era muito frutífera para a análise funcional. Além dos espaços vetoriais euclidianos clássicos, exemplos de espaços de Hilbert incluem espaços de funções quadrado-integráveis, espaços de sequências, espaços de Sobolev consistindo em funções generalizadas e espaços de Hardy de funções holomorfas.
A intuição geométrica desempenha um papel importante em muitos aspetos da teoria dos espaços de Hilbert. Análogos exatos do teorema de Pitágoras e da lei do paralelogramo verificam-se num espaço de Hilbert. A um nível mais profundo, a projeção perpendicular sobre um subespaço linear desempenha um papel significativo em problemas de otimização matemática e noutros aspetos da teoria. Um elemento de um espaço de Hilbert pode ser inequivocamente especificado pelas suas coordenadas em relação a uma base ortonormal, em analogia com as coordenadas cartesianas na geometria clássica. Quando esta base é infinitamente enumerável, ela permite identificar o espaço de Hilbert com o espaço das sequências infinitas que são quadrado-somáveis. Este último espaço é frequentemente referido na literatura mais antiga como o espaço de Hilbert.
Definição e ilustração
Exemplo motivador: espaço vetorial euclidiano Um dos exemplos mais familiares de um espaço de Hilbert é o espaço vetorial euclidiano que consiste em vetores tridimensionais, denotado por , e equipado com o produto escalar. O produto escalar toma dois vetores e , e produz um número real . Se e são representados em coordenadas cartesianas, então o produto escalar é definido por:
O produto escalar satisfaz as propriedades: É simétrico em e : . É linear no seu primeiro argumento: para quaisquer escalares , , e vetores , , e . É positivo definido: para todos os vetores , , com igualdade se e somente se .
Uma operação sobre pares de vetores que, tal como o produto escalar, satisfaz estas três propriedades é conhecida como um produto interno (real). Um espaço vetorial equipado com tal produto interno é conhecido como um espaço com produto interno (real). Todo espaço com produto interno de dimensão finita é também um espaço de Hilbert.No entanto, algumas fontes chamam os espaços de dimensão finita com estas propriedades de espaços pré-Hilbert, reservando o termo "espaço de Hilbert" para espaços de dimensão infinita; ver, ex., . A característica básica do produto escalar que o conecta com a geometria euclidiana é que ele está relacionado tanto com o comprimento (ou norma) de um vetor, denotado por , quanto com o ângulo entre dois vetores e através da fórmula
thumb|right|Completude significa que uma série de vetores (em azul) resulta num vetor de deslocamento líquido bem definido (em laranja). O cálculo multivariável no espaço euclidiano baseia-se na capacidade de calcular limites, e de ter critérios úteis para concluir que os limites existem. Uma série matemática
consistindo de vetores em é absolutamente convergente contanto que a soma dos comprimentos convirja como uma série ordinária de números reais:
Assim como numa série de escalares, uma série de vetores que converge absolutamente também converge para algum vetor limite no espaço euclidiano, no sentido de que
Esta propriedade expressa a completude do espaço euclidiano: que uma série que converge absolutamente também converge no sentido ordinário.. Para a completude do espaço euclidiano, veja a Definição 4.37 e o Exemplo 4.38, p. 108; para a equivalência da completude com a propriedade de que séries absolutamente convergentes convergem, veja o Teorema 4.44, p. 110.
Os espaços de Hilbert são frequentemente considerados sobre os números complexos. O plano complexo denotado por é equipado com uma noção de magnitude, o módulo complexo , que é definido como a raiz quadrada do produto de pelo seu complexo conjugado:
Se é uma decomposição de nas suas partes real e imaginária, então o módulo é o comprimento euclidiano bidimensional usual:
O produto interno de um par de números complexos e é o produto de com o complexo conjugado de :
Este tem valor complexo. A parte real de fornece o produto escalar euclidiano bidimensional usual.
Um segundo exemplo é o espaço cujos elementos são pares de números complexos . Então um produto interno de com outro vetor deste tipo é dado por
A parte real de é então o produto escalar euclidiano quadridimensional. Este produto interno é hermitiano simétrico, o que significa que o resultado da troca de e é o complexo conjugado:
Definição Um espaço de Hilbert é um espaço com produto interno real ou complexo que é também um espaço métrico completo em relação à função de distância induzida pelo produto interno.O material matemático nesta seção pode ser encontrado em qualquer bom livro de análise funcional, como , , ou .
Dizer que um espaço vetorial complexo é um espaço com produto interno complexo significa que existe um produto interno associando um número complexo a cada par de elementos de que satisfaz as seguintes propriedades: O produto interno é conjugado simétrico; isto é, o produto interno de um par de elementos é igual ao complexo conjugado do produto interno dos elementos trocados: Importante, isto implica que é um número real. O produto interno é linear no seu primeiro argumento. Para todos os números complexos e O produto interno de um elemento consigo mesmo é positivo definido:
Segue das propriedades 1 e 2 que um produto interno complexo é antilinear, também chamado de linear conjugado, no seu segundo argumento, significando que
Um espaço com produto interno real é definido da mesma forma, exceto que é um espaço vetorial real e o produto interno assume valores reais. Tal produto interno será uma aplicação bilinear e formará um sistema dual.
thumb|upright=1.2|Ilustração da desigualdade triangular com a função de distância em cada lado A norma é a função de valor real
e a distância entre dois pontos em é definida em termos da norma por
Aqui, é uma função de distância, significando primeiramente que é simétrica em e em segundo lugar que a distância entre e ele próprio é zero, e caso contrário a distância entre e deve ser positiva, e por fim que a desigualdade triangular se verifica, significando que o comprimento de um lado de um triângulo não pode exceder a soma dos comprimentos dos outros dois lados:
Esta última propriedade é, em última análise, uma consequência da mais fundamental desigualdade de Cauchy-Schwarz, que afirma
com igualdade se e somente se e forem linearmente dependentes.
Com uma função de distância definida desta forma, qualquer espaço com produto interno é um espaço métrico, e às vezes é conhecido como um espaço pré-Hilbert. Qualquer espaço pré-Hilbert que seja adicionalmente também um espaço completo é um espaço de Hilbert.
A completude de é expressa usando uma forma do critério de Cauchy para sequências em : um espaço pré-Hilbert é completo se cada sequência de Cauchy converge em relação a esta norma para um elemento no espaço. A completude pode ser caracterizada pela seguinte condição equivalente: se uma série de vetores
converge absolutamente no sentido de que
então a série converge em , no sentido de que as somas parciais convergem para um elemento de .
Como um espaço normado completo, os espaços de Hilbert são por definição também espaços de Banach. Como tal, eles são espaços vetoriais topológicos, nos quais as noções topológicas como a abertura e o fechamento de subconjuntos estão bem definidas. De especial importância é a noção de um subespaço linear fechado de um espaço de Hilbert que, com o produto interno induzido por restrição, é também completo (sendo um conjunto fechado num espaço métrico completo) e, portanto, um espaço de Hilbert por direito próprio.
Segundo exemplo: espaços de sequências O espaço de sequências consiste em todas as sequências infinitas de números complexos tais que a série de suas normas ao quadrado converge:
O produto interno em é definido por:
A série para o produto interno converge como consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz e da convergência assumida das duas séries de normas ao quadrado.
A completude do espaço verifica-se desde que, sempre que uma série de elementos de convirja absolutamente (em norma), então ela convirja para um elemento de . A prova é elementar na análise matemática, e permite que séries matemáticas de elementos do espaço sejam manipuladas com a mesma facilidade que as séries de números complexos (ou vetores num espaço euclidiano de dimensão finita).
História thumb|right|David Hilbert Antes do desenvolvimento dos espaços de Hilbert, outras generalizações dos espaços euclidianos eram conhecidas pelos matemáticos e físicos. Em particular, a ideia de um espaço linear abstrato (espaço vetorial) havia ganhado alguma força no final do século XIX:Em grande parte a partir do trabalho de Hermann Grassmann, a pedido de August Ferdinand Möbius . O primeiro relato axiomático moderno de espaços vetoriais abstratos apareceu, em última análise, no relato de Giuseppe Peano de 1888 (; ). este é um espaço cujos elementos podem ser somados e multiplicados por escalares (tais como reais ou complexos) sem necessariamente identificar estes elementos com vetores "geométricos", tais como vetores de posição e de momento em sistemas físicos. Outros objetos estudados pelos matemáticos na viragem do século XX, em particular os espaços de sequências (incluindo séries) e os espaços de funções,Um relato detalhado da história dos espaços de Hilbert pode ser encontrado em . podem ser naturalmente pensados como espaços lineares. As funções, por exemplo, podem ser somadas ou multiplicadas por escalares constantes, e estas operações obedecem às leis algébricas satisfeitas pela adição e pela multiplicação escalar de vetores espaciais.
Na primeira década do século XX, desenvolvimentos paralelos levaram à introdução dos espaços de Hilbert. A primeira delas foi a observação, que surgiu durante o estudo de David Hilbert e Erhard Schmidt sobre as equações integrais, de que duas funções de valor real quadrado-integráveis e num intervalo têm um produto interno
que tem muitas das propriedades familiares do produto escalar euclidiano. Em particular, a ideia de uma família ortogonal de funções tem significado. Schmidt explorou a semelhança deste produto interno com o produto escalar usual para provar um análogo da decomposição espetral para um operador da forma
onde é uma função contínua simétrica em e . A expansão em autofunções resultante expressa a função como uma série da forma