thumb|236px|Parte da "" (Tabela de Geometria) da Cyclopaedia de 1728
Geometria (do grego antigo: γεωμετρία; geo- "terra", -metron "medição") surgiu como o campo do conhecimento lidando com as relações espaciais. A geometria era um dos dois campos da matemática pré-modernas, o outro sendo o estudo dos números (aritmética).
Geometria clássica foi focada nas construções com régua e compasso. A geometria foi revolucionada por Euclides, muitas vezes referido como o "Pai da Geometria", que introduziu o rigor matemático e o método axiomático ainda em uso hoje. O livro, Os Elementos é amplamente considerado o livro mais influente de todos os tempos, e era conhecido por todas as pessoas educadas no Ocidente até a metade do século XX.Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders: 1990 (ISBN 0-03-029558-0), p. 141: "No work, except The Bible, has been more widely used...." (“Nenhum trabalho, exceto a Bíblia, tem sido mais amplamente usado…”)
Nos tempos modernos, conceitos geométricos foram generalizados para um alto nível de abstração e complexidade, e foram submetidos aos métodos de cálculo e álgebra abstrata, de modo que muitos ramos modernos do campo são quase irreconhecíveis como os descendentes da geometria primordial.
Geometria primordial
Os registros primordiais mais antigos da geometria podem ser atribuídos a povos primitivos, que descobriram triângulos obtusos no antigo Vale do Indo (ver a matemática dos harappeanos), e antiga Babilônia (ver matemática babilônica) em torno de 3000 a.C.. Geometria primitiva era uma coleção de princípios empiricamente descobertos em matéria de comprimentos, ângulos, áreas e volumes, que foram desenvolvidos para satisfazer alguma necessidade prática em agrimensura, construção, astronomia e vários ofícios. Entre estes estavam alguns princípios surpreendentemente sofisticados, e a um matemático moderno pode ser difícil derivar alguns deles sem o uso de cálculo. Por exemplo, tanto os antigos egípcios como os babilônios estavam cientes de versões do teorema de Pitágoras cerca de 1500 anos antes de Pitágoras; egípcios tinha uma fórmula correta para o volume de um tronco de uma pirâmide de base quadrada.
Geometria egípcia
Os antigos egípcios sabiam que podiam aproximar a área de um círculo como se segue:Ray C. Jurgensen, Alfred J. Donnelly, and Mary P. Dolciani. Editorial Advisors Andrew M. Gleason, Albert E. Meder, Jr. Modern School Mathematics: Geometry (Student's Edition). Houghton Mifflin Company, Boston, 1972, p. 52. ISBN 0-395-13102-2. Teachers Edition ISBN 0-395-13103-0.
Área do Círculo ≈ [ (Diâmetro) x 8/9 ]2 .
Problema 30 do papiro de Ahmes utiliza estes métodos para calcular a área de um círculo, de acordo com uma regra de que a área é igual ao quadrado de 8/9 do diâmetro do círculo. Isso pressupõe que π é 4 × (8/9) ² (ou 3,160493 ...), com um erro de pouco mais de 0,63 por cento. Este valor foi ligeiramente menos preciso do que os cálculos dos babilônios (25/8 = 3,125, dentro de uma margem de 0,53 por cento), mas não foi superado até a aproximação de Arquimedes de 211875/67441 = 3,14163, o que teve um erro de pouco mais de 1 em cada 10.000 .
Curiosamente, Ahmes sabia do moderno 22/7 como uma aproximação para pi, e é usado para dividir um hekat, hekat x 22 /x x 22/07 = hekat; no entanto, Ahmes continuou a usar o valor 256/81 tradicional para pi para calcular seu volume de hekat encontrado em um cilindro.
Problema 48 envolveu o uso de um quadrado com lados 9 unidades. Este quadrado foi cortado em uma grade de 3x3. A diagonal dos quadrados dos cantos foram usadas para fazer um octógono irregular com uma área de 63 unidades. Isso deu um segundo valor para π de 3.111...
Os dois problemas juntos indicaram um intervalo de valores para pi entre 3.11 e 3.16.
Problema 14 no Papiro Matemático de Moscou dá o único exemplo antigo encontrando o volume de um tronco de uma pirâmide, descrevendo a fórmula correta:
Geometria babilônica
Os babilônios podem ter conhecido as regras gerais de medição de áreas e volumes. Mediram a circunferência de um círculo como três vezes o diâmetro e a área como um doze avos do quadrado da circunferência, o que seria correto se π fosse estimado como 3. O volume de um cilindro foi tomado como o produto da base e a altura, no entanto, o volume do tronco de um cone ou uma pirâmide quadrada incorretamente foi tomado como o produto da altura e metade da soma das bases. O teorema de Pitágoras também era conhecido pelos babilônios. Além disso, houve uma descoberta recente em que uma tábula apresentava π como 3 e ⅛ (3,125). Os babilônios também são conhecidos pela milha babilônica, que foi uma medida de distância igual a cerca de sete milhas atuais. Esta medição de distâncias, eventualmente, foi convertida para um “tempo-milha” utilizado para medir o curso do Sol, por conseguinte, representando tempo.Eves, Chapter 2.
Geometria da Índia védica
thumb|right|Manuscrito Rigveda em Devanagari
O período védico indiano teve uma tradição de geometria, expresso sobretudo na construção de altares elaborados. Textos indianos iniciais (1º milênio a.C.) sobre este tema incluem o Satapatha Brahmana e os Śulba Sūtras.A. Seidenberg, 1978. The origin of mathematics. Archive for the history of Exact Sciences, vol 18.(Staal 1999)A maioria dos problemas matemáticos considerados nos Śulba Sūtras concentram-se em "uma única exigência teológica", que é a da construção de altares de fogo que tenham diferentes formas, mas ocupem a mesma área. Os altares deviam obrigatoriamente ser construídos de cinco camadas de tijolos queimados, ainda com a condição de que cada camada consistia em 200 tijolos e que não há duas camadas adjacentes que tenham concordância congruentes de tijolos. (Hayashi 2003, p. 118)
De acordo com (Hayashi 2005, p. 363), os Śulba Sūtras contém "a expressão verbal existente mais antiga do Teorema de Pitágoras no mundo, embora já tivesse sido conhecido para os antigos babilônicos."
“A corda diagonal (akṣṇayā-rajju) de um (retângulo) oblongo produz tanto como as (cordas) do flanco (pārśvamāni) e a horizontal (tiryaṇmānī) produzem separadamente."(Hayashi 2005, p. 363)
Eles contêm listas de trios pitagóricos,Trios pitagóricos são trios de inteiros com a propriedade: . Então , , , etc. que são casos particulares de equações diofantinas.(Cooke 2005, p. 198): "O conteúdo aritmético dos Śulva Sūtras consiste de regras para encontrar trios pitagóricos tais como (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) e (12, 35, 37). Não é certo qual utilização prática tinham essas regras aritméticas. A melhor conjectura é que eles eram parte de um ritual religioso. Uma casa Hindu era obrigada a ter três fogueiras que queimavam em três altares diferentes. Os três altares eram para ser de formas diferentes, mas todos os três eram para ter a mesma área. Estas condições originaram a alguns problemas "Diofantinos", caso particular dos quais é a geração de trios pitagóricos, de modo a obter um número inteiro quadrado igual à soma de outros dois." Também contêm afirmações (que com retrospectiva que sabemos ser aproximada) sobre a quadratura do círculo e "circulatura do quadrado".(Cooke 2005, pp. 199–200): "A exigência de três altares de áreas iguais, mas diferentes formas explicaria o interesse na transformação de áreas. Entre outros problemas de transformações de áreas os Hindus consideravam, em particular, o problema da quadratura do círculo. O Bodhayana Sutra declara o problema inverso de construção de um círculo igual a um determinado quadrado. A construção seguinte aproximada é dada como a solução .... este resultado é apenas aproximado. Os autores, no entanto, não fazem distinção entre os dois resultados. Em termos que podemos apreciar, esta construção dá um valor para π de 18 (3 − 2√2), o que é aproximadamente 3.088."
O Baudhayana Śulba Sūtra, o mais conhecido e antigo Śulba Sūtra (datado dos séculos VIII ou VII a.C.) contém exemplos de trios pitagóricos simples, tais como: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8 , 15, 17), (7, 24, 25), e (12, 35, 37),(Joseph 2000, p. 229) bem como o estabelecimento do teorema de Pitágoras para os lados de um quadrado: "a corda que é esticada entre os diagonal de um quadrado produz uma área duas vezes o tamanho do quadrado original " Também contém a instrução geral do teorema de Pitágoras (para os lados de um rectângulo): "A corda esticada ao longo do comprimento da diagonal de um retângulo faz uma área que os lados verticais e horizontais fazem em conjunto."
De acordo com o matemático S. G. Dani, a tábua cuneiforme babilônica Plimpton 322, escrita em 1850 a.C.Mathematics Department, University of British Columbia, The Babylonian tabled Plimpton 322. "contém quinze trios pitagóricos com valores bastante grandes, incluindo (13500, 12709, 18541), que é um trio primitivo,Três inteiros positivos formam um trio pitagórico primitivo se e se o mais alto fator comum de é 1 (são “primos entre si”). No exemplo particular do documento Plimpton 322, isso significa que e que os três números não têm quaisquer fatores comuns. No entanto, alguns estudiosos têm contestado a interpretação pitagoreana desta tábula; ver Plimpton 322 para detalhes. o que indica, em particular, que havia sofisticada compreensão sobre o tema" na Mesopotâmia em 1850 a.C.. "Uma vez que estas tábuas são anteriores ao período Śulba Sūtras por vários séculos, tendo em conta o aspecto contextual de algumas dos trios, é razoável esperar que compreensão semelhante teria ocorrido na Índia."(Dani 2003) Dani continua dizendo:
"Como o principal objetivo do Śulba Sūtras foi descrever as construções de altares e os princípios geométricos envolvidos neles, objeto de trios pitagóricos, mesmo se isso tivesse sido bem entendido podendo ainda não ter sido apresentado no Śulba Sūtras. A ocorrência dos triplos no Śulba Sūtras é comparável à matemática que se pode encontrar em um livro introdutório sobre arquitetura ou de outra área aplicada semelhante, e não correspondem diretamente ao conhecimento geral sobre o tema nesse momento. uma vez que, infelizmente, não há outras fontes contemporâneas que tenham sido encontrados e isso pode nunca ser possível de ser resolvido como problema de forma satisfatória."
Ao todo, três Śulba Sūtras foram compostos. Os dois restantes, o Manava Śulba Sūtra composto por Manavá (fl. 750-650 aC) e o Apastamba Śulba Sūtra, composto por Āpastamba (c. 600 a.C.), continha resultados semelhantes ao Baudhayana Śulba Sūtra. CUP Archive, 1926. pg 360 - books.google.com.br
Geometria grega
Geometria grega clássica
Para os antigos matemáticos gregos, a geometria era a jóia da coroa de suas ciências, atingindo uma completa e perfeita de metodologia que nenhum outro ramo do seu conhecimento tinha alcançado. Eles ampliaram o leque da geometria para muitos novos tipos de números, curvas, superfícies e sólidos; mudaram a sua metodologia de tentativa-e-erro para a dedução lógica; Eles reconheceram que os estudos de geometria eram de "formas eternas", ou abstrações, das quais os objetos físicos são apenas aproximações; e eles desenvolveram a ideia do "método axiomático", ainda em uso hoje.
Tales e Pitágoras
thumb|Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2