As equações de Maxwell são um grupo de equações diferenciais parciais que, juntamente com a lei da força de Lorentz, compõem a base do eletromagnetismo clássico no qual está embebida toda a óptica clássica.Sodré, Ulysses. "Equações diferenciais parciais." (PDF) Londrina:[sn] (2003). O desenvolvimento das equações de Maxwell, e o entendimento do eletromagnetismo, contribuíram significativamente para toda uma revolução tecnológica iniciada no final do século XIX e continuada durante as décadas seguintes.
As equações de Maxwell podem ser divididas em duas grandes variações. O grupo microscópico das equações de Maxwell utiliza os conceitos de carga total e corrente total, que inclui as cargas e correntes em níveis atômicos, que comumente são difíceis de se calcular. O grupo macroscópico das equações de Maxwell define os dois novos campos auxiliares que podem evitar a necessidade de ter que se conhecer tais cargas e correntes em dimensões atômicas.
As equações de Maxwell são assim chamadas em homenagem ao físico e matemático escocês James Clerk Maxwell, já que podem ser encontradas, sob outras notações matemáticas, em um artigo dividido em quatro partes, intitulado On Physical Lines of Force (Acerca das linhas físicas de força), que Maxwell publicou entre 1861 e 1862. A forma matemática da lei da força de Lorentz também está presente neste artigo.
Torna-se útil, geralmente, escrever as equações de Maxwell em outras formas matemáticas. Estas representações matemáticas, ainda que possam ser completamente diferentes uma das outras, descrevem basicamente os mesmos fenômenos físicos e ainda são chamadas de "equações de Maxwell". Uma formulação em termos de tensores covariantes de campo é usada na relatividade restrita, por exemplo. Dentro da mecânica quântica, é preferida uma versão baseada em potenciais elétrico e magnético.
História
As formulações de Maxwell em 1865 estavam em torno de vinte equações de vinte variáveis, que incluíam diversas equações hoje consideradas auxiliares das equações de Maxwell: a lei de Ampère corrigida, uma equação de três componentes; a lei de Gauss para carga, descrita por uma equação; a relação entre densidade de corrente total e de deslocamento, descrita por três equações, a relação entre campo magnético e o vetor potencial, descrita por uma equação de três componentes, que implica a ausência de monopolo magnético; a relação entre campo elétrico e os potenciais escalar e vetorial, descrita por equações de três componentes, que implicam a Lei de Faraday; a relação entre campos elétrico e de deslocamento, descrita por equações de três componentes, a Lei de Ohm, que relaciona intensidade de corrente e campo elétrico, descrita por equações de três componentes; e a equação de continuidade, que relaciona a intensidade de corrente e densidade de carga, descrita por uma equação.
A formulação matemática moderna das equações de Maxwell deve-se a Oliver Heaviside e Willard Gibbs, que em 1884 reformularam o sistema original de equações em uma representação mais simples, utilizando-se de cálculo vetorial. Maxwell também havia publicado seu trabalho, em 1873, utilizando notações com base em quaterniões, que acabou se tornando impopular. A mudança para notação vetorial produziu uma representação matemática simétrica que reforçava a percepção das simetrias físicas entre os vários campos. Esta notação altamente simétrica inspiraria diretamente o desenvolvimento posterior da física fundamental.
Como um dos resultados derivados das equações de Maxwell surge a velocidade das ondas eletromagnéticas, dada por . Como consequência, interpretações de físicos logo em seguida sugeriam que as equações de Maxwell expressariam o eletromagnetismo apenas no referencial inercial do éter luminífero. Naquela época, para os físicos, o éter luminífero seria o meio pelo qual a luz oscilaria como onda, assim como uma onda mecânica tendo como meio uma corda, e serviria como referencial absoluto para todo o Universo. O experimento conduzido por Albert Abraham Michelson e Edward Morley produziu um resultado nulo para a hipótese da mudança da velocidade da luz devido ao movimento hipotético da Terra através do éter. Porém, explicações alternativas foram buscadas por Lorentz, entre outros. Isto culminou na teoria de Albert Einstein da relatividade especial, que postulava a ausência de qualquer referencial absoluto e a invariância das equações de Maxwell em todos os referenciais.
As equações do campo eletromagnético têm uma íntima ligação com a relatividade especial: as equações do campo magnético podem ser derivadas de interpretações das equações do campo elétrico sob transformações relativísticas sob baixas velocidades. Na relatividade restrita, as equações são escritas em uma forma mais compacta, manifestamente covariante, em termos de um quadritensor da intensidade do campo antissimétrico de segunda ordem, que unifica os campos eléctrico e magnético em um único objecto.
Descrição conceitual Conceitualmente, as equações de Maxwell descrevem como cargas elétricas e correntes elétricas agem como fontes dos campos elétrico e magnético. Além do mais, as equações de Maxwell descrevem como um campo elétrico que varia no tempo gera um campo magnético que também varia no tempo, e vice-versa.
Das quatro equações, duas delas, a lei de Gauss e a lei de Gauss para o magnetismo, descrevem como os campos são gerados a partir de cargas. Para o campo magnético, como não há carga magnética, as linhas de campo magnético não começam nem terminam, ou seja, as linhas são como trajetórias fechadas. As outras duas equações descrevem como os campos "circulam" em torno de suas respectivas fontes: o campo magnético "circula" em torno de correntes elétricas e de campos elétricos variantes com o decorrer do tempo, conforme a lei de Ampère com a correção do próprio Maxwell; campos elétricos "circulam" em torno de campos magnéticos que variam com o tempo, conforme a lei de Faraday.
Lei de Gauss
thumb|upright=0.5|Campo elétrico a partir de carga positiva para carga negativa. A lei de Gauss, assim chamada em homenagem ao matemático e físico alemão Carl Friedrich Gauss, descreve a relação entre um campo elétrico e as cargas elétricas geradoras do campo. Na descrição em termos de linhas de campo, as linhas de campo elétrico começam das cargas positivas e terminam nas cargas negativas. "Contando" o número de linhas de campo em uma superfície fechada, portanto, obtém-se o total de cargas inclusas naquela superfície. Mais tecnicamente, a lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico através de qualquer superfície gaussiana fechada com a densidade de cargas elétricas contidas no interior do volume encerrado pela superfície gaussiana.
Lei de Gauss para o magnetismo thumb|Linhas do campo magnético produzido por uma corrente em dois fios condutores próximos. Acima, corrente para no sentido para cá; abaixo, corrente para lá. A lei de Gauss para o magnetismo afirma que não há cargas ou monopolos magnéticos análogos às cargas elétricas. Em vez disso, o campo magnético é gerado por uma configuração chamada dipolo. Dipolos magnéticos são mais bem representadas como correntes fechadas, mas que lembram cargas magnéticas positivas e negativas inseparáveis, não tendo, portanto, nenhuma rede de cargas magnéticas. Em termos de linhas de campo, esta equação afirma que as linhas de campo magnético nunca começam ou terminam, mas que circulam. Em outras palavras qualquer linha de campo magnético que entra em um determinado volume ou material devem de alguma forma sair deste volume ou material. Em uma linguagem mais técnica, o fluxo magnético através de qualquer superfície gaussiana é zero, ou que o campo magnético é um campo vetorial solenoidal.
Lei de Faraday thumb|esquerda|Concepção artística da magnetosfera terrestre sendo perturbada por ventos solares. Esta perturbação cria campo e corrente elétrica, que podem interferir e prejudicar as comunicações em torno e na Terra
A lei de Faraday, assim chamada em homenagem ao físico inglês Michael Faraday, descreve como um campo magnético que varia com o tempo cria, ou induz, um campo elétrico. Este aspecto da indução eletromagnética é o princípio operante por trás de muitos geradores elétricos. Por exemplo, um magneto em forma de barra, em rotação, cria um campo magnético que varia com o tempo, que por sua vez gera um campo elétrico que também varia com o tempo em um condutor próximo.
Há duas equações grandemente relacionadas que são chamadas de lei de Faraday. A forma usada nas equações de Maxwell é sempre válida, embora mais restrita do que a equação originalmente formulada por Faraday.
Lei de Ampère com a correção de Maxwell thumb|Memória de núcleo magnético de An Wang (1954), uma aplicação da lei de Ampère. Cada núcleo armazena um bit de memória
A lei de Ampère, assim chamada em homenagem ao físico francês André-Marie Ampère, afirma que campos magnéticos podem ser gerados em duas formas: através de correntes elétricas, que é a lei de Ampère original, e por campos elétricos que variam no tempo, que é a correção proposta por Maxwell.
A correção de Maxwell proposta à lei de Ampère é particularmente importante: significa que um campo magnético que varia no tempo cria um campo elétrico que varia no tempo, e que um campo elétrico que varia no tempo gera um campo magnético que varia no tempo. Portanto, estas equações descrevem a existência de "ondas eletromagnéticas" autossustentadas através do espaço vazio.
A velocidade calculada para as ondas eletromagnéticas, que podia ser prevista através de experimentos em cargas e correntes, coincide exatamente com a velocidade da luz. Portanto, a luz é uma forma de onda eletromagnética. Maxwell entendeu esta relação entre a luz e o eletromagnetismo em 1861, unificando, portanto, duas áreas da física até então distintas: o eletromagnetismo e a óptica.
Formulação em termos de campo elétrico e magnético (microscópico ou no vácuo) Na formulação do campo elétrico e magnético, existem quatro equações que determinam os campos para determinada carga e distribuição de corrente. Uma lei separada da natureza, a lei da força de Lorentz, descreve como, inversamente, o campo elétrico e magnético atua sobre partículas carregadas e correntes. Uma versão desta lei foi incluída nas equações originais por Maxwell mas, por convenção, ela foi excluída. Por formalismo de cálculo vetorial abaixo, devido a Oliver Heaviside, tornou-se padrão. É manifestamente rotativo invariante e, portanto, matematicamente muito mais transparente que as 20 equações originais de Maxwell em componentes x, y, z. As formulações relativísticas são ainda mais simétricas e manifestamente invariantes por Lorentz. Para as mesmas equações expressas usando cálculo tensorial ou formas diferenciais.
As formulações de equações diferenciais e integrais são matematicamente equivalentes e são úteis. A formulação integral relaciona campos dentro de uma região de espaço a campos no limite e pode freqüentemente ser usada para simplificar e calcular diretamente campos de distribuições simétricas de cargas e correntes. Por outro lado, as equações diferenciais são puramente locais e são um ponto de partida mais natural para o cálculo dos campos em situações mais complicadas (menos simétricas), por exemplo, usando a análise de elementos finitos.
Tabela dos termos usados
A tabela a seguir fornece o significado de cada símbolo e da unidade SI de medida