Em matemática, a lei da tricotomia afirma que todo número real é positivo, negativo ou zero.Trichotomy Law at MathWorld A tricotomia é a propriedade de uma relação de ordem que, para quaisquer e , exatamente um dos seguintes ocorre: , , ou . Este axioma da tricotomia é válido para comparações ordinárias de números reais e, por conseguinte, seus subconjuntos, tais como os inteiros e racionais.
Mais geralmente, uma relação binária em um conjunto é tricotômica se para todos os e em , exatamente um de , e for válido. Escrevendo como , isso é declarado na lógica formal como:
Propriedades Uma relação é tricotômica se, e somente se, for assimétrica e semiconexa. Se uma relação tricotômica também é transitiva, então é uma ordem total estrita; este é um caso especial de uma ordem estritamente fraca.Jerrold E. Marsden & Michael J. Hoffman (1993) Elementary Classical Analysis, page 27, W. H. Freeman and Company H.S. Bear (1997) An Introduction to Mathematical Analysis, page 11, Academic Press
Exemplos No conjunto , a relação é transitiva e tricotômica e, portanto, uma ordem total estrita. No mesmo conjunto, a relação cíclica é tricotômica, mas não transitiva; é até antitransitiva.
Tricotomia em números Uma lei da tricotomia em algum conjunto de números geralmente expressa que alguma relação de ordenação dada tacitamente em é tricotômica. Um exemplo é a lei "Para números reais arbitrários e , aplica-se exatamente um de , ou "; alguns autores até fixam como zero, baseando-se na estrutura de grupo linearmente ordenada aditiva do número real. Este último é um grupo equipado com uma ordem tricotômica.
Na lógica clássica, este axioma da tricotomia vale para comparação ordinária entre números reais e, portanto, também para comparações entre inteiros e entre números racionais. A lei não se aplica em geral na lógica intuicionista.
Na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel e na teoria dos conjuntos de Bernays, a lei da tricotomia é válida entre os números cardinais de conjuntos bem ordenáveis, mesmo sem o axioma da escolha. Se o axioma da escolha for válido, então a tricotomia é válida entre os números cardinais arbitrários (porque eles são todos bem ordenados nesse caso).
Ver também Begriffsschrift contém uma formulação inicial da lei da tricotomia Dicotomia Princípio da não-contradição Lei do terceiro excluído
Categoria:Teoria da ordem