Em matemática, a transformada de seno (ou transformada de Fourier de seno) e a transformada de cosseno (ou transformada de Fourier de cosseno) de uma função são as transformadas integrais definidas, respectivamente, pela parte imaginária e pela parte real da transformada de Fourier de .
Essas transformadas podem ser consideradas casos especiais da transformada de Fourier que aparecem naturalmente quando é uma função, respectivamente, ímpar ou par. A transformada de cosseno de uma função par concordaMultiplicadores fixos convencionais podem aparecer, dependendo do autor. com a transformada de Fourier A transformada de seno de uma função ímpar concorda com a transformada de Fourier Mais geralmente, a transformada de cosseno/seno da parte par/ímpar de uma função é igual a 1/i vezes a parte par/ímpar da transformada de Fourier daquela função, se as componentes de frequência negativa forem desconsideradas.As funções que aparecem em aplicações de Física e Engenharia em geral não possuem componentes de frequência negativa. Para mais detalhes, consultar o verbete sistema causal.R. Bracewell - The Fourier Transform and its Applications, 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, ISBN 0-07303-938-1 / ISBN 978-0-0730-3938-1, Cap. 2, pp. 16 a 17
Como os núcleos das transformações não possuem as propriedades notáveis da função exponencial complexa usada pela transformada de Fourier, as transformadas de seno e de cosseno são menos interessantes matematicamente; por outro lado, certas características as tornam adequadas para aplicação em problemas específicos, especialmente no caso das suas versões discretas.P. Yip - Sine and Cosine Transforms in A. Poularikas (org) - The Transforms and Applications Handbook, 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 3, pp. 274 a 275
Definição
Como a transformada de Fourier é definida porAs convenções para definição da transformada de Fourier variam de autor para autor, com relação à grandeza da variável (frequência angular ou linear) e fatores multiplicadores. Aqui foi adotada a mesma convenção empregada no verbete principal Transformada de Fourier.
Expandindo o integrando por meio da fórmula de Euler, obtemos a integral
que pode ser escrita como a soma de duas integrais
Se for uma função ímpar, o produto f(t)cosωt será também uma função ímpar, enquanto que o produto f(t)sinωt será uma função par. Uma vez que a integral está sendo calculada em um intervalo simétrico em torno da origem (i.e. -∞ to +∞), a primeira integral deve ser igual a zero, e a segunda pode ser expressa de forma simplificada como
que é a transformada de seno da função . Obviamente, a função resultante ω será também uma função ímpar.
Raciocínio similar aplicado à transformada inversa de Fourier resulta em uma segunda transformada de seno
Os fatores numéricos nas fórmulas das transformadas de Fourier são convencionais, por isso os multplicadores podem ser omitidos, resultando na forma mais comum das transformadas de seno e sua inversa
e
Se for uma função par, raciocínio similar resulta em
que é a transformada de cosseno de , que é uma função par, e na fórmula da transformada inversa
Mary L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, 2nd Ed, John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1
Condições de existência Para que as transformadas existam, é condição suficiente que f(t) seja absolutamente integrável no intervalo [0,∞] f'(t) seja contínua por partes no intervalo [0,∞]
Se essas condições são satisfeitas, então, se F(ω) = F{f(t)} é a transformada de seno ou de cosseno de f(t), e F-1{F(ω)} é a respectiva inversa, então F-1{F(ω)} é igual a f(t) em todo subintervalo de [0,∞] onde f(t) é contínua F-1{F(ω)} é igual à média de f(t-ε) e f(t+ε) em toda descontinuidade de f(t)
Condições suficientes mais fortes são requeridas para algumas das propriedades tratadas abaixo: f(t) seja absolutamente integrável no intervalo [0,∞] f(t) seja contínua por partes no intervalo [0,∞]
No que segue, trataremos esses dois conjuntos de condições por condições fracas e condições fortes de existência, respectivamente.P. Yip - op. cit., pp. 276 a 281, 294 a 297
Propriedades
Escalamento no domínio do tempoComo as transformadas de seno e de cosseno são lineares, as expressões são triviais.
Deslocamento do eixo do tempo Se a é um número real positivo e fp(t) é uma função par tal que f(p(t) = f(|t|) no intervalo [-a,∞] f(p(t) atende às condições fortes de existência das transformadas no intervalo [-a,∞]
então f(p(t) é a extensão par de f(t) nesse intervalo, e valem as relações
Se, por outro lado, a é um número real positivo e fi(t) é uma função ímpar tal que f(i(t) = sgn(t)·f(|t|) no intervalo [-a,∞], onde sgn(t) é a função sinal f(i(t) atende às condições fortes de existência das transformadas no intervalo [-a,∞]
então f(p(t) é a extensão ímpar de f(t) nesse intervalo, e valem as relações
Deslocamento do eixo da frequência
Diferenciação no domínio do tempo Se fn(t), com n em algarismos romanos, denota a derivada de ordem n de f(t), tkp denota uma das m(p) descontinuidades da derivada de ordem p de f(t) (com p < n, evidentemente, e p em algarismos romanos), e hkp denota a amplitude dessas descontinuidades, então valem as relações seguintes:
e assim por diante; para a transformada de seno:
e assim por diante.
Integração no domínio do tempo
também neste caso f(t() precisa atender às condições fortes de existência das transformadas.
Integração no domínio da frequência
também neste caso f(t() precisa atender às condições fortes de existência das transformadas.
Potências de t
onde denota a derivada de ordem p de F(ω). As funções a ser transformadas em cada caso devem atender às condições fortes de existência das transformadas.
Lema de Riemann-Lebesgue A formulação do lema de Riemann-Lebesgue para essas transformadas é a seguinte:
Aqui também é necessário que f(t) atenda às condições fortes de existência das transformadas.
Convolução Se f(t) e g(t) atendem às condições (fracas) para existência das respectivas transformadas de cosseno, e fp(t) e gp são uma funções pares tal que f(p(t) = f(|t|) no intervalo [-∞,∞] g(p(t) = g(|t|) no intervalo [-∞,∞]
então f(p(t) e g(p(t) são as extensões pares de f(t) e g(t), respectivamente, nesse intervalo, e vale a relação
onde o símbolo * denota a convolução de duas funções.
Além disso, se f(t) e g(t) atendem às condições (fracas) para existência das respectivas transformadas de cosseno, e fi(t) e gi são uma funções pares tal que f(i(t) = sgn(t)·f(|t|) no intervalo [-∞,∞], onde sgn(t) é a função sinal g(i(t) = sgn(t)·g(|t|) no intervalo [-∞,∞]
então f(i(t) e g(i(t) são as extensões ímpares de f(t) e g(t), respectivamente, nesse intervalo, e vale a relação
Relação com a Transformada de Fourier A partir das expressões (1a) a (1d), pode-se escrever
onde u(t) é a função degrau unitário.
Tabelas de transformadas de seno e de cosseno
+ Tabela 1 - Transformadas de seno de algumas funções f(t)P. Yip - op. cit., pp. 297 a 304
+ Tabela 2 - Transformadas de cosseno de algumas funções f(t)P. Yip - op. cit., pp. 281 a 290onde: é a função degrau unitário é a função cosseno integral é a função seno integral está relacionada à função Si(x) é a função exponencial integral está relacionada à função Ei(x)Pela expressão . é a função retangular é a função triangular é a função seno cardinal
Exemplos de aplicação
Análise de vibrações sob condições específicas
Uma corda de violino, afastada da posição de repouso em um ponto qualquer diferente do centro, experimentará vibrações após liberada. Chamemos y(x,t) à distância da corda em relação à posição de repouso em um dado ponto x qualquer e em um instante dado t. Sempre se pode escolher um sistema de coordenadas em que o comprimento da mesma é unitário; da mesma forma, a amplitude do deslocamento inicial produzido pode ser feita unitária. Seja x = b a posição em que foi inserida a perturbação. A corda estará sujeita à condição de contorno y(0,t) = y(1,t) = 0 para todo t, e podemos escrever
A transformada de seno de y(x,t) é, de acordo com a definição (1a)
que só envolve coeficientes reais e é mais simples que a transformada de Fourier de y(x,0).
Neste exemplo as condições de contorno levaram à escolha natural da transformada de seno. Um exemplo em que a transformada de cosseno seria a escolha natural é a análise de ondas estacionárias em um canal fechado em ambas as extremidades.R. Bracewell - op. cit., Cap. 12, pp. 319 a 320
Solução de equação diferencial parcial sob condições específicas
Seja a equação diferencial parcial
onde u é a função de duas variáveis, x e t, que se deseja encontrar, e as condições de contorno são u(x,0) = f(x) e u(0,t) = g(t), sendo dadas as funções h(x,t), f(x) e g(t). Aplicando-se a transformação de seno em relação à variável x, e em vista das propriedades (2m), teremos
Considerou-se que as funções são todas contínuas e obedecem às condições fortes de existência das transformadas.
onde U(ω,t) e H(ω,t) são as transformadas de seno de u(x,t) e h(x,t), respectivamente. Resolvendo-se a equação para U(ω,t)
onde C1 é uma constante de integração. Fazendo-se t = 0 nesta última equação, teremos , onde F(ω) é a transformada de seno de f(x). Assim,
e u(x,t) é obtida a partir da aplicação da transformada inversa de seno a esta última equação.P. Yip - op. cit., pp. 313 a 320
Solução de equação diferencial ordinária sob condições específicas
Seja a equação diferencial de segunda ordem
onde λ é uma constante, com condições de contorno x'(0) = 0 e x(∞) = 0, e sendo dada a função f(t)
onde u(x) é a função degrau unitário. Aplicando-se a transformação de cosseno às equações, e em vista das propriedades (2l), teremos
onde X(ω) é a transformada de cosseno de x(t). Resolvendo-se para X(ω), tem-se
A aplicação da transformada inversa fornece a resposta
As condições de contorno favoreceram o uso da transformada de cosseno; confrontar essas condições com as dos exemplos anteriores, que favoreceram o uso da transformada de seno. A solução por meio daquela transformação evitou o emprego de números complexos, que seriam usados se fosse escolhida em seu lugar a transformada de Fourier.
Transformações relacionadas As transformadas discretas de seno e de cosseno Em aplicações práticas, as transformadas são aplicadas não a funções contínuas do tempo, e sim a amostras de tais funções. Os dados obtidos têm duração finita e natureza discreta, tanto no tempo quanto na amplitude. A esses conjuntos de dados aplicam-se as versões discretas das transformações: a transformada discreta de seno (DST, do inglês Discrete Sine Transform) e a transformada discreta de cosseno (DCT, do inglês Discrete Cosine Transform). Na verdade, podem-se definir 4 tipos diferentes para cada uma delas, de acordo com critérios diversos; essas transformadas são denotadas de duas formas diferentes: DST1, DST2, DST3 e assim por diante, ou então DST-I, DST-II, DST-III e assim por diante, dependendo do autor.P. Yip - op. cit., pag. 305Z. Hafed e M. Levine - Face Recognition Using the Discrete Cosine Transform in International Journal of Computer Vision, 43(3), 2001, pp. 167 a 188
Transformações multidimensionais Assim como a transformada de Fourier, as transformadas de seno e de cosseno podem ser estendidas para um maior número de dimensões de forma simples. Transformações bidimensionais encontram aplicação em diversas áreas, como processamento de imagem, por exemplo.
Transformações especiais