Espaço tridimensional

miniaturadaimagem|Uma imagem que produz a sensação visual de um cenário tridimensional. thumb|A Geometria descritiva resolveu os problemas do espaço através da linguagem gráfica enquanto a Geometria analítica tridimensional usou a matemática.

Na geometria, um espaço tridimensional é um espaço matemático no qual três valores (chamados de coordenadas) são necessários para determinar a posição de um ponto. Alternativamente, pode ser referido como espaço 3D, 3-espaço ou espaço de três dimensões. Mais comumente, significa o espaço euclidiano tridimensional, isto é, o espaço euclidiano de dimensão três, que modela o espaço físico. Espaços tridimensionais mais gerais são chamados de 3-variedades. O termo pode referir-se coloquialmente a um subconjunto do espaço, uma região tridimensional (ou domínio 3D), ou uma figura sólida.

Tecnicamente, uma tupla de números pode ser entendida como as coordenadas cartesianas de uma localização num espaço euclidiano de dimensão . O conjunto destas -uplas é comumente denotado por e pode ser identificado com o par formado por um espaço euclidiano de dimensão e um sistema de coordenadas cartesianas. Quando , este espaço é chamado de espaço euclidiano tridimensional (ou simplesmente "espaço euclidiano" quando o contexto é claro). Na física clássica, serve como um modelo do universo físico, no qual toda a matéria conhecida existe. Quando a teoria da relatividade é considerada, ele pode ser tido como um subespaço local do espaço-tempo. Embora este espaço continue a ser a forma mais amplamente utilizada para modelar o mundo tal como é experienciado, ele é apenas um exemplo de uma 3-variedade. Neste exemplo clássico, quando os três valores se referem a medições em diferentes direções (coordenadas), quaisquer três direções podem ser escolhidas, desde que estas direções não se situem no mesmo plano. Além disso, se estas direções forem perpendiculares duas a duas, os três valores são frequentemente rotulados pelos termos largura, altura/profundidade e comprimento.

História O filósofo Aristóteles reconheceu a existência de três dimensões:

Os livros XI a XIII d'Os Elementos de Euclides trataram da geometria tridimensional. O Livro XI desenvolve noções de perpendicularidade, paralelismo e ortogonalidade de retas e planos, a construção e propriedades de ângulos, e sólidos paralelepipédicos. O Livro XII discute os infinitesimais e o método da exaustão para encontrar a área de um círculo ou o volume de uma pirâmide, cone, cilindro ou esfera. O Livro XIII descreve a construção dos cinco sólidos platônicos regulares numa esfera, cobrindo o cubo, os octaedros, os icosaedros e os dodecaedros.

No século XVII, o espaço tridimensional foi descrito com coordenadas cartesianas, com o advento da geometria analítica desenvolvida por René Descartes na sua obra La Géométrie. Pierre de Fermat desenvolveu de forma independente ideias semelhantes no manuscrito Ad locos planos et solidos isagoge (Introdução aos Lugares Planos e Sólidos), que não foi publicado durante a vida de Fermat. O trabalho de Fermat na busca de extremos de uma curva lançaria as bases para o cálculo diferencial. Isaac Newton introduziu o sistema de coordenadas polares como um sistema não cartesiano alternativo que é útil para certas geometrias.

No século XVIII, Alexis Clairaut estudou as curvas algébricas no espaço, o conceito de espaço tangente e curvatura, e o uso do cálculo para esse fim. Leonhard Euler estudou a noção de uma geodésica numa superfície, derivando a primeira equação geodésica analítica, e posteriormente introduziu o primeiro conjunto de sistemas de coordenadas intrínsecas numa superfície, iniciando a teoria da geometria intrínseca, sobre a qual se baseiam as ideias geométricas modernas. Em 1760, Euler provou um teorema que expressa a curvatura de uma curva espacial numa superfície em termos das curvaturas principais, conhecido como teorema de Euler. Mais tarde no mesmo século, Gaspard Monge fez contribuições importantes para o estudo de curvas e superfícies no espaço. O trabalho de Euler e Monge lançou as bases para a geometria diferencial.

No século XIX, desenvolvimentos na geometria do espaço tridimensional surgiram com a formulação dos quaterniões por William Rowan Hamilton, um sistema de números hipercomplexos. Para este fim, Hamilton cunhou os termos escalar e vetor, e eles foram definidos pela primeira vez no sentido tridimensional dentro da sua estrutura geométrica para os quaterniões. O espaço tridimensional poderia então ser descrito por quaterniões que possuíam uma componente escalar nula, isto é, .

Embora não tenha sido explicitamente estudado por Hamilton, este trabalho introduziu indiretamente noções de base, aqui dadas pelos elementos do quaternião , bem como o produto escalar e o produto vetorial, que correspondem (ao negativo) da parte escalar e da parte vetorial do produto de dois quaterniões vetoriais. Foi apenas com Josiah Willard Gibbs que esses dois produtos foram identificados por direito próprio, e a notação moderna para os produtos escalar e vetorial foi introduzida nas suas notas de ensino em sala de aula, encontradas também no livro didático de 1901 Vector Analysis, escrito por Edwin Bidwell Wilson com base nas palestras de Gibbs.

Um desenvolvimento adicional ocorreu no formalismo abstrato dos espaços vetoriais, com o trabalho de Hermann Grassmann e Giuseppe Peano, este último tendo dado pela primeira vez a definição moderna de espaços vetoriais como uma estrutura algébrica. O desenvolvimento da matemática matricial e a sua aplicação à geometria -dimensional foram feitos por Arthur Cayley.

Na geometria euclidiana

Sistemas de coordenadas Na matemática, a geometria analítica (também chamada de geometria cartesiana) descreve cada ponto no espaço tridimensional por meio de três coordenadas. São dados três eixos de coordenadas, cada um perpendicular aos outros dois na origem, o ponto em que se cruzam. Eles são geralmente rotulados como , e . Em relação a esses eixos, a posição de qualquer ponto no espaço tridimensional é dada por uma tripla ordenada de números reais, cada número dando a distância daquele ponto até a origem medida ao longo do eixo dado, que é igual à distância daquele ponto até o plano determinado pelos outros dois eixos.

Outros métodos populares para descrever a localização de um ponto no espaço tridimensional incluem as coordenadas cilíndricas e as coordenadas esféricas, embora haja um número infinito de métodos possíveis. Para mais, veja Espaço euclidiano.

Abaixo estão imagens dos sistemas mencionados acima.

Retas e planos

Dois pontos distintos sempre determinam uma reta. Três pontos distintos ou são colineares ou determinam um único plano. Por outro lado, quatro pontos distintos podem ser colineares, coplanares ou determinar todo o espaço.

Duas retas distintas podem se interceptar, ser paralelas ou ser reversas. Duas retas paralelas, ou duas retas concorrentes, situam-se em um único plano, portanto, retas reversas são retas que não se encontram e não estão em um plano comum.

right|thumb|Relações entre até três planos; apenas no exemplo 12 três planos se encontram para formar um ponto Dois planos distintos podem se encontrar em uma reta comum ou ser paralelos (ou seja, não se encontram). Três planos distintos, nenhum par dos quais seja paralelo, podem se encontrar em uma reta comum, encontrar-se em um único ponto comum ou não ter nenhum ponto em comum. No último caso, as três retas de interseção de cada par de planos são mutuamente paralelas.

Uma reta pode estar contida em um plano dado, interceptar esse plano em um único ponto ou ser paralela ao plano. No último caso, retas podem ser formadas no plano que são paralelas à reta dada.

Um hiperplano é um subespaço de uma dimensão a menos que a dimensão do espaço total. Os hiperplanos de um espaço tridimensional são os subespaços bidimensionais, ou seja, os planos. Em termos de coordenadas cartesianas, os pontos de um hiperplano satisfazem uma única equação linear, de modo que os planos neste espaço 3D são descritos por equações lineares. Uma reta pode ser descrita por um par de equações lineares independentes — cada uma representando um plano que tem essa reta como uma interseção comum.

O teorema de Varignon afirma que os pontos médios de qualquer quadrilátero em formam um paralelogramo e, portanto, são coplanares.

Esferas e bolas

right|thumb|Uma projeção em perspectiva de uma esfera em duas dimensões Uma esfera no espaço 3D (também chamada de 2-esfera porque é um objeto bidimensional) consiste no conjunto de todos os pontos no espaço 3D a uma distância fixa de um ponto central . O sólido delimitado pela esfera é chamado de bola (ou, mais precisamente, uma 3-bola).

O volume da bola é dado por

e a área da superfície da esfera é

Outro tipo de esfera surge de uma 4-bola, cuja superfície tridimensional é a 3-esfera: pontos equidistantes à origem do espaço euclidiano . Se um ponto tem coordenadas , então caracteriza esses pontos na 3-esfera unitária centrada na origem.

Esta 3-esfera é um exemplo de uma 3-variedade: um espaço que 'se parece localmente' com o espaço 3D. Em termos topológicos precisos, cada ponto da 3-esfera tem uma vizinhança que é homeomorfa a um subconjunto aberto do espaço 3D.

Politopos

Em três dimensões, existem nove politopos regulares: os cinco sólidos platônicos convexos e os quatro poliedros de Kepler-Poinsot não convexos.

+ Politopos regulares em três dimensõesClasseSólidos platônicosPoliedros de Kepler-PoinsotSimetriaTdOhIhGrupo de CoxeterA3, [3,3]B3, [4,3]H3, [5,3]Ordem2448120Poliedroregular50px{3,3}50px{4,3}50px{3,4}50px{5,3}50px{3,5}50px{5/2,5}50px{5,5/2}50px{5/2,3}50px{3,5/2}

Superfícies de revolução

Uma superfície gerada pela revolução de uma curva plana em torno de uma reta fixa em seu plano como eixo é chamada de superfície de revolução. A curva plana é chamada de geratriz da superfície. Uma seção da superfície, feita pela interseção da superfície com um plano que é perpendicular (ortogonal) ao eixo, é um círculo.

Exemplos simples ocorrem quando a geratriz é uma reta. Se a reta geratriz intercepta a reta do eixo, a superfície de revolução é um cone circular reto com o vértice (ápice) no ponto de interseção. No entanto, se a geratriz e o eixo forem paralelos, então a superfície de revolução é um cilindro circular.

Superfícies quádricas

Em analogia com as seções cônicas, o conjunto de pontos cujas coordenadas cartesianas satisfazem a equação geral do segundo grau, a saber,

onde e são números reais e nem todos os e são zero, é chamado de superfície quádrica (ou simplesmente quádrica).

Existem seis tipos de superfícies quádricas não degeneradas: Elipsoide Hiperboloide de uma folha Hiperboloide de duas folhas Cone elíptico Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico

As superfícies quádricas degeneradas são o conjunto vazio, um único ponto, uma única reta, um único plano, um par de planos ou um cilindro quadrático (uma superfície que consiste em uma seção cônica não degenerada em um plano e todas as retas de através dessa cônica que são normais a ). Os cones elípticos às vezes também são considerados superfícies quádricas degeneradas.

Tanto o hiperboloide de uma folha quanto o paraboloide hiperbólico são superfícies regradas, o que significa que podem ser formados por uma família de retas. De fato, cada um possui duas famílias de retas geradoras, os membros de cada família são disjuntos e cada membro de uma família intercepta, com apenas uma exceção, todos os membros da outra família. Cada família é chamada de regulus.

Na álgebra linear