Em álgebra, uma unidade ou elemento invertível de um anel é um elemento invertível para a multiplicação do anel. Isto é, um elemento de um anel é uma unidade se existe em tal que
onde é a identidade multiplicativa; o elemento é único para esta propriedade e é chamado de inverso multiplicativo de . O conjunto das unidades de forma um grupo sob multiplicação, chamado de grupo de unidades ou grupo unitário de . Outras notações para o grupo de unidades são , e (do termo alemão ).
Menos comumente, o termo unidade é às vezes usado para se referir ao elemento do anel, em expressões como anel com unidade ou anel unitário, e também matriz unitária. Devido a essa ambiguidade, é mais comumente chamado de "unidade" ou "identidade" do anel, e as frases "anel com unidade" ou "anel com identidade" podem ser usadas para enfatizar que se está considerando um anel em vez de um rng.
Exemplos A identidade multiplicativa e seu inverso aditivo são sempre unidades. Mais geralmente, qualquer raiz da unidade em um anel é uma unidade: se , então é um inverso multiplicativo de . Em um anel não nulo, o elemento 0 não é uma unidade, então não é fechado sob adição. Um anel não nulo no qual todo elemento não nulo é uma unidade (isto é, ) é chamado de anel de divisão (ou corpo não comutativo). Um anel de divisão comutativo é chamado de corpo. Por exemplo, o grupo de unidades do corpo dos números reais é .
Anel dos inteiros No anel dos inteiros , as únicas unidades são e .
No anel de inteiros módulo , as unidades são as classes de congruência representadas por inteiros coprimos a . Elas constituem o grupo multiplicativo dos inteiros módulo .
Anel de inteiros de um corpo de números No anel obtido pela adjunção do inteiro quadrático a , tem-se , então é uma unidade, e assim também são suas potências, de modo que tem infinitas unidades.
Mais geralmente, para o anel de inteiros em um corpo de números , o teorema das unidades de Dirichlet afirma que é isomorfo ao grupo
onde é o grupo (finito, cíclico) das raízes da unidade em e , o posto do grupo de unidades, é
onde são o número de imersões reais e o número de pares de imersões complexas de , respectivamente.
Isso recupera o exemplo : O grupo de unidades de (o anel de inteiros de) um corpo quadrático real é infinito de posto 1, pois .
Polinômios e séries de potências Para um anel comutativo , as unidades do anel de polinômios são os polinômiostais que é uma unidade em e os coeficientes restantes são nilpotentes, isto é, satisfazem para algum . Em particular, se é um domínio (ou mais geralmente reduzido), então as unidades de são as unidades de . As unidades do anel de séries de potências são as séries de potênciastais que é uma unidade em .
Anéis de matrizes O grupo de unidades do anel de matrizes sobre um anel é o grupo de matrizes invertíveis. Para um anel comutativo , um elemento de é invertível se e somente se o determinante de é invertível em . Nesse caso, pode ser dado explicitamente em termos da matriz adjunta.
Em geral Para elementos e em um anel , se é invertível, então é invertível com inverso ; esta fórmula pode ser conjecturada, mas não provada, pelo seguinte cálculo em um anel de séries de potências não comutativas: Veja a identidade de Hua para resultados semelhantes.
Grupo de unidades Um anel comutativo é um anel local se é um ideal maximal.
Acontece que, se é um ideal, então ele é necessariamente um ideal maximal e é local, pois um ideal maximal é disjunto de .
Se é um corpo finito, então é um grupo cíclico de ordem .
Todo homomorfismo de anéis induz um homomorfismo de grupos , pois mapeia unidades em unidades. De fato, a formação do grupo de unidades define um functor da categoria dos anéis para a categoria dos grupos. Este functor tem um adjunto à esquerda que é a construção do anel de grupo integral.
O esquema de grupos é isomorfo ao esquema de grupos multiplicativo sobre qualquer base, portanto, para qualquer anel comutativo , os grupos e são canonicamente isomorfos a . Note que o functor (isto é, ) é representável no sentido: para anéis comutativos (isso, por exemplo, segue da relação adjunta mencionada acima com a construção do anel de grupo). Explicitamente, isso significa que há uma bijeção natural entre o conjunto dos homomorfismos de anéis e o conjunto dos elementos unitários de (em contraste, representa o grupo aditivo , o functor de esquecimento da categoria dos anéis comutativos para a categoria dos grupos abelianos).
Associados Suponha que seja comutativo. Os elementos e de são chamados de se existe uma unidade em tal que ; então escreve-se . Em qualquer anel, pares de elementos inversos aditivos e são associados, pois qualquer anel inclui a unidade . Por exemplo, 6 e −6 são associados em . Em geral, é uma relação de equivalência em .
A associatividade também pode ser descrita em termos da ação de em via multiplicação: Dois elementos de são associados se estão na mesma -órbita.
Em um domínio de integridade, o conjunto de associados de um dado elemento não nulo tem a mesma cardinalidade que .
A relação de equivalência pode ser vista como qualquer uma das relações de semigrupo de Green especializada para o semigrupo multiplicativo de um anel comutativo .
Ver também S-unidades Localização de um anel e um módulo
Notas
Referências
Bibliografia
Categoria:Álgebra abstrata Categoria:Teoria dos grupos Categoria:Teoria algébrica dos números