Em matemática, especialmente na geometria diferencial, o fibrado cotangente de uma variedade diferenciável é o fibrado vetorial de todos os espaços cotangentes em cada ponto da variedade. Pode ser descrito também como o fibrado dual do fibrado tangente. Isso pode ser generalizado para categorias com mais estrutura do que as variedades diferenciáveis, como variedades complexas, ou (na forma de feixe cotangente) variedades algébricas ou esquemas. No caso diferenciável, qualquer métrica Riemanniana ou forma simplética fornece um isomorfismo entre o fibrado cotangente e o fibrado tangente, mas eles não são em geral isomorfos em outras categorias.

Definição formal via morfismo diagonal Existem várias maneiras equivalentes de definir o fibrado cotangente. Uma forma é através de um morfismo diagonal e germes.

Seja uma variedade diferenciável e seja o produto cartesiano de consigo mesma. A aplicação diagonal envia um ponto em para o ponto de . A imagem de é chamada de diagonal. Seja o feixe de germes de funções suaves em que se anulam na diagonal. Então o feixe quociente consiste em classes de equivalência de funções que se anulam na diagonal módulo termos de ordem superior. O feixe cotangente é definido como o pullback deste feixe para :

Pelo teorema de Taylor, este é um feixe localmente livre de módulos com respeito ao feixe de germes de funções suaves de . Assim, ele define um fibrado vetorial em : o fibrado cotangente.

As seções suaves do fibrado cotangente são chamadas de 1-formas (diferenciais).

Propriedades de contravariância

Um morfismo suave de variedades induz um feixe de pullback em M. Existe um mapa induzido de fibrados vetoriais .

Exemplos O fibrado tangente do espaço vetorial é , e o fibrado cotangente é , onde denota o espaço dual de covetores, funções lineares .

Dada uma variedade suave mergulhada como uma hipersuperfície representada pelo lugar de anulamento de uma função com a condição de que o fibrado tangente é

onde é a derivada direcional . Por definição, o fibrado cotangente neste caso é

onde Como cada covetor corresponde a um único vetor para o qual para um arbitrário,

O fibrado cotangente como espaço de fase

Como o fibrado cotangente é um fibrado vetorial, ele pode ser considerado como uma variedade por si só. Porque em cada ponto as direções tangentes de podem ser emparelhadas com seus covetores duais na fibra, possui uma 1-forma canônica chamada de 1-forma tautológica, discutida abaixo. A derivada exterior de é uma 2-forma simplética, a partir da qual uma forma de volume não-degenerada pode ser construída para . Por exemplo, como resultado é sempre uma variedade orientável (o fibrado tangente é um fibrado vetorial orientável). Um conjunto especial de coordenadas pode ser definido no fibrado cotangente; estas são chamadas de coordenadas canônicas. Como os fibrados cotangentes podem ser pensados como variedades simpléticas, qualquer função real no fibrado cotangente pode ser interpretada como um Hamiltoniano; assim o fibrado cotangente pode ser entendido como um espaço de fase sobre o qual a mecânica hamiltoniana se desenvolve.

A 1-forma tautológica

O fibrado cotangente carrega uma 1-forma canônica também conhecida como o potencial simplético, 1-forma de Poincaré, ou 1-forma de Liouville. Isso significa que se considerarmos como uma variedade por si só, há uma seção canônica do fibrado vetorial sobre .

Esta seção pode ser construída de várias maneiras. O método mais elementar usa coordenadas locais. Suponha que sejam coordenadas locais na variedade base . Em termos dessas coordenadas de base, existem coordenadas de fibra : uma 1-forma num ponto particular de tem a forma (Convenção de somatório de Einstein implícita). Portanto, a própria variedade possui coordenadas locais onde os são coordenadas na base e os são coordenadas na fibra. A 1-forma canônica é dada nessas coordenadas por

Intrinsecamente, o valor da 1-forma canônica em cada ponto fixo de é dado como um pullback. Especificamente, suponha que é a projeção do fibrado. Escolher um ponto em é o mesmo que escolher um ponto em e uma 1-forma em , e a 1-forma tautológica atribui ao ponto o valor

Ou seja, para um vetor no fibrado tangente do fibrado cotangente, a aplicação da 1-forma tautológica a em é calculada projetando no fibrado tangente em usando e aplicando a esta projeção. Note que a 1-forma tautológica não é um pullback de uma 1-forma na base .

Forma simplética

O fibrado cotangente tem uma 2-forma simplética canônica nele, como uma derivada exterior da 1-forma tautológica, o potencial simplético. Provar que esta forma é, de fato, simplética pode ser feito notando que ser simplética é uma propriedade local: como o fibrado cotangente é localmente trivial, esta definição precisa apenas ser verificada em . Mas lá a 1-forma definida é a soma de , e o diferencial é a forma simplética canônica, a soma de .

Espaço de fase

Se a variedade representa o conjunto de posições possíveis num sistema dinâmico, então o fibrado cotangente pode ser pensado como o conjunto de possíveis posições e momentos. Por exemplo, esta é uma forma de descrever o espaço de fase de um pêndulo. O estado do pêndulo é determinado por sua posição (um ângulo) e seu momento (ou equivalentemente, sua velocidade, já que sua massa é constante). O espaço de estados inteiro se parece com um cilindro, que é o fibrado cotangente do círculo. A construção simplética acima, junto com uma função de energia apropriada, dá uma determinação completa da física do sistema. Veja mecânica hamiltoniana e o artigo sobre fluxo geodésico para uma construção explícita das equações hamiltonianas de movimento.

Ver também Transformada de Legendre

Bibliografia

Categoria:Fibrados vetoriais Categoria:Topologia diferencial Categoria:Tensores