Na matemática, uma álgebra de Lie é semissimples se for uma soma direta de álgebras de Lie simples. (Uma álgebra de Lie simples é uma álgebra de Lie não abeliana sem nenhum ideal próprio não nulo.)

Ao longo do artigo, a menos que seja indicado o contrário, uma álgebra de Lie é uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre um corpo de característica 0. Para tal álgebra de Lie , se não for nula, as seguintes condições são equivalentes: é semissimples; a Forma de Killing é não degenerada; não possui ideais abelianos não nulos; não possui ideais solúveis não nulos; o radical (ideal solúvel máximo) de é zero.

Importância A importância da semissimplicidade vem primeiramente da Decomposição de Levi, que afirma que toda álgebra de Lie de dimensão finita é o produto semidireto de um ideal solúvel (seu radical) e uma álgebra semissimples. Em particular, não existe nenhuma álgebra de Lie não nula que seja simultaneamente solúvel e semissimples.

As álgebras de Lie semissimples possuem uma classificação muito elegante, em forte contraste com as álgebras de Lie solúveis. As álgebras de Lie semissimples sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero são completamente classificadas pelo seu sistema de raízes, que por sua vez são classificados pelos diagramas de Dynkin. As álgebras semissimples sobre corpos não algebricamente fechados podem ser compreendidas em termos daquelas sobre o fecho algébrico, embora a classificação seja um pouco mais intrincada; veja forma real para o caso de álgebras de Lie semissimples reais, que foram classificadas por Élie Cartan.

Além disso, a teoria de representação de álgebras de Lie semissimples é muito mais limpa do que para álgebras de Lie em geral. Por exemplo, a decomposição de Jordan em uma álgebra de Lie semissimples coincide com a decomposição de Jordan na sua representação; este não é o caso para álgebras de Lie em geral.

Se é semissimples, então . Em particular, toda álgebra de Lie linear semissimples é uma subálgebra de , a álgebra de Lie linear especial. O estudo da estrutura de constitui uma parte importante da teoria de representação para álgebras de Lie semissimples.

História As álgebras de Lie semissimples sobre os números complexos foram classificadas pela primeira vez por Wilhelm Killing (1888–90), embora sua demonstração carecesse de rigor. Sua prova foi tornada rigorosa por Élie Cartan (1894) em sua tese de doutorado, que também classificou as álgebras de Lie semissimples reais. Isso foi posteriormente refinado, e a presente classificação por diagramas de Dynkin foi dada pelo então jovem de 22 anos Eugene Dynkin em 1947. Algumas pequenas modificações foram feitas (notavelmente por J. P. Serre), mas a demonstração permanece inalterada em seus aspectos essenciais e pode ser encontrada em qualquer referência padrão, como .

Propriedades básicas Todo ideal, quociente e produto de álgebras de Lie semissimples é novamente semissimples. O centro de uma álgebra de Lie semissimples é trivial (já que o centro é um ideal abeliano). Em outras palavras, a representação adjunta é injetiva. Além disso, a imagem acaba sendoComo a forma de Killing B é não degenerada, dada uma derivação D, existe um x tal que para todo y e então, por um cálculo simples, . o conjunto de derivações em . Portanto, é um isomorfismo. (Este é um caso especial do lema de Whitehead.) Como a representação adjunta é injetiva, uma álgebra de Lie semissimples é uma álgebra de Lie linear sob a representação adjunta. Isso pode levar a alguma ambiguidade, já que toda álgebra de Lie já é linear em relação a algum outro espaço vetorial (Teorema de Ado), embora não necessariamente via a representação adjunta. Mas na prática, tal ambiguidade raramente ocorre. Se é uma álgebra de Lie semissimples, então (porque é semissimples e abeliana). Uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre um corpo k de característica zero é semissimples se, e somente se, a extensão de base for semissimples para cada extensão de corpo . Assim, por exemplo, uma álgebra de Lie real de dimensão finita é semissimples se, e somente se, a sua complexificação for semissimples.

Decomposição de Jordan Cada endomorfismo x de um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo de característica zero pode ser decomposto unicamente em uma parte semissimples (ou seja, diagonalizável sobre o fecho algébrico) e uma parte nilpotente

tais que s e n comutam entre si. Além disso, cada um de s e n é um polinômio em x. Esta é a decomposição de Jordan de x.

O acima se aplica à representação adjunta de uma álgebra de Lie semissimples . Um elemento x de é dito ser semissimples (resp. nilpotente) se for um operador semissimples (resp. nilpotente). Se , então a decomposição abstrata de Jordan afirma que x pode ser escrito unicamente como:

onde é semissimples, é nilpotente e . Além disso, se comuta com x, então ele também comuta tanto com quanto com .

A decomposição abstrata de Jordan fatora através de qualquer representação de no sentido de que dada qualquer representação ρ,

é a decomposição de Jordan de ρ(x) na álgebra de endomorfismos do espaço de representação. (Isso é provado como consequência do teorema da redutibilidade completa de Weyl; veja Teorema da redutibilidade completa de Weyl#Aplicação: preservação da decomposição de Jordan.)

Estrutura Seja uma álgebra de Lie semissimples (de dimensão finita) sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero. A estrutura de pode ser descrita por uma ação adjunta de uma certa subálgebra distinta sobre ela, uma Subálgebra de Cartan. Por definição,Esta é uma definição de uma subálgebra de Cartan de uma álgebra de Lie semissimples e coincide com a geral. uma Subálgebra de Cartan (também chamada de subálgebra toral máxima) de é uma subálgebra máxima tal que, para cada , é diagonalizável. Como se verifica, é abeliana e assim todos os operadores em são simultaneamente diagonalizáveis. Para cada funcional linear de , seja . (Note que é o centralizador de .) Então

(O item mais difícil de demonstrar é . As provas padrão todas usam alguns fatos da teoria de representação de ; ex., Serre usa o fato de que um -módulo com um elemento primitivo de peso negativo tem dimensão infinita, contradizendo .)

Sejam com as relações de comutação ; ou seja, os correspondem à base padrão de .

Os funcionais lineares em são chamados de raízes de relativas a . As raízes geram o espaço (pois se , então é o operador nulo; ou seja, está no centro, que é zero). Além disso, a partir da teoria de representação de , deduzem-se as seguintes propriedades de simetria e integralidade de : para cada ,

Note que tem as propriedades (1) e (2) o conjunto de pontos fixos é , o que significa que é a reflexão em relação ao hiperplano correspondente a . O acima então diz que é um sistema de raízes.

Segue-se da teoria geral de um sistema de raízes que contém uma base de tal que cada raiz é uma combinação linear de com coeficientes inteiros do mesmo sinal; as raízes são chamadas de raízes simples. Seja , etc. Então os elementos (chamados geradores de Chevalley) geram como uma álgebra de Lie. Além disso, eles satisfazem as relações (chamadas relações de Serre): com ,

. O inverso disso também é verdadeiro: ou seja, a álgebra de Lie gerada pelos geradores e pelas relações como a acima é uma álgebra de Lie semissimples (de dimensão finita) que possui a decomposição de espaços de raízes como acima (desde que seja uma Matriz de Cartan). Este é um teorema de Serre. Em particular, duas álgebras de Lie semissimples são isomorfas se tiverem o mesmo sistema de raízes.

A implicação da natureza axiomática de um sistema de raízes e do teorema de Serre é que se pode enumerar todos os sistemas de raízes possíveis; portanto, "todas as possíveis" álgebras de Lie semissimples (de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero).

O grupo de Weyl é o grupo de transformações lineares de gerado pelos 's. O grupo de Weyl é uma simetria importante do problema; por exemplo, os pesos de qualquer representação de dimensão finita de são invariantes sob o grupo de Weyl. Theorem 9.3

Exemplo de decomposição de espaço de raízes em sln(C) Para e a subálgebra de Cartan das matrizes diagonais, defina por , onde denota a matriz diagonal com na diagonal. Então a decomposição é dada por

onde

para o vetor em com a base canônica (de matrizes), significando que representa o vetor da base na -ésima linha e -ésima coluna. Esta decomposição de tem um sistema de raízes associado:

sl2(C) Por exemplo, em a decomposição é

e o sistema de raízes associado é

sl3(C)

Em a decomposição é

e o sistema de raízes associado é dado por

Exemplos Como notado em #Estrutura, as álgebras de Lie semissimples sobre (ou mais geralmente um corpo algebricamente fechado de característica zero) são classificadas pelo sistema de raízes associado às suas subálgebras de Cartan, e os sistemas de raízes, por sua vez, são classificados pelos seus diagramas de Dynkin. Exemplos de álgebras de Lie semissimples, as álgebras de Lie clássicas, com notação vinda dos seus diagramas de Dynkin, são: , a álgebra de Lie linear especial. , a álgebra de Lie ortogonal especial de dimensão ímpar. , a álgebra de Lie simplética. , a álgebra de Lie ortogonal especial de dimensão par (). A restrição na família é necessária porque é unidimensional e comutativa e, portanto, não é semissimples.

Estas álgebras de Lie são numeradas de forma que n é o posto. Quase todas essas álgebras de Lie semissimples são na verdade simples e os membros dessas famílias são quase todos distintos, exceto por algumas colisões em posto pequeno. Por exemplo, e . Essas quatro famílias, juntamente com cinco exceções (E6, E7, E8, F4 e G2), são de fato as únicas álgebras de Lie simples sobre os números complexos. Classificação

Toda álgebra de Lie semissimples sobre um corpo algebricamente fechado de característica 0 é uma soma direta de álgebras de Lie simples (por definição), e as álgebras de Lie simples de dimensão finita enquadram-se em quatro famílias – An, Bn, Cn e Dn – com cinco exceções E6, E7, E8, F4 e G2. As álgebras de Lie simples são classificadas pelos diagramas de Dynkin conexos, mostrados à direita, enquanto as álgebras de Lie semissimples correspondem a diagramas de Dynkin não necessariamente conexos, onde cada componente do diagrama corresponde a um termo na decomposição da álgebra de Lie semissimples em álgebras de Lie simples.

A classificação prossegue considerando uma Subálgebra de Cartan (veja abaixo) e sua ação adjunta sobre a álgebra de Lie. O sistema de raízes da ação então tanto determina a álgebra de Lie original quanto deve possuir uma forma muito restrita, que pode ser classificada pelos diagramas de Dynkin. Veja a seção abaixo que descreve as subálgebras de Cartan e os sistemas de raízes para mais detalhes.

A classificação é amplamente considerada como um dos resultados mais elegantes na matemática – uma breve lista de axiomas rende, por meio de uma demonstração relativamente curta, uma classificação completa mas não trivial com estrutura surpreendente. Isso deve ser comparado à classificação dos grupos simples finitos, que é significativamente mais complicada.

A enumeração das quatro famílias é não redundante e consiste apenas de álgebras simples se para An, para Bn, para Cn, e para Dn. Se a numeração iniciar de baixo, a enumeração é redundante, e há isomorfismos excepcionais entre álgebras de Lie simples, que são refletidos em isomorfismos de diagramas de Dynkin; os En também podem ser estendidos para baixo, mas abaixo de E6 são isomorfos a outras álgebras não excepcionais.