O modelo de Ising é modelo de mecânica estatística muito empregado na física do estado sólido em problemas como o lattice gas e em ligas binárias, mas é mais conhecido na descrição das propriedades magnéticas, bem como, busca simular a estrutura de uma substância ferromagnética. Obtido através de uma simplificação do modelo de Heisenberg, este é tido como um modelo dinâmico de transição de fase que incorpora interações de curto alcance numa rede d-dimensional.
Mesmo sendo conhecido como um modelo simples, uma vez que considera apenas as interações entre os spins dos vizinhos mais próximos, o modelo de Ising demonstra resultados compensatórios, podendo descrever qualitativamente vários fenômenos relacionados às transições de fase. Sua usabilidade vem do fato de que as características essenciais dos fenômenos de transição (especialmente na vizinhança próxima do ponto crítico), não serão significativamente alteradas com a inclusão das interações dos spins mais distantes.
Do mesmo modo, a substituição de uma rede estrutural por outra, desde que sua dimensionalidade seja mantida, não irá alterar significativamente as características dos fenômenos de transição de fase. Por fim, essas soluções podem ser compartilhadas, com poucas modificações, por muitos outros sistemas físicos passando por tipos muito diferentes de transições (gás-líquido ao invés de paramagnético-ferromagnético, por exemplo). Devido a essa relação íntima entre as transições de fase e o modelo de Ising, serão inicialmente abordadas as transições de fase, tão importantes para toda a física, e posteriormente o modelo de Ising propriamente dito.
Transições de fase Em geral, o termo transição de fase pode se referir a mudanças entre os estados da matéria: sólido, líquido, gasoso e plasma, mas pode também se referir a mudanças de fase magnética, cristalina, elétrica, dentre outras.
Os fenômenos físicos aos quais o formalismo da mecânica estatística é aplicado podem, em geral, ser classificados em duas categorias. Na primeira categoria, os elementos microscópicos do sistema dado são considerados como não interagentes. Para essa situação, as funções termodinâmicas do sistema devem estar diretamente relacionadas ao conhecimento dos níveis de energia dos seus constituintes individuais. Particularmente no caso de sólidos, em que as interações desempenham um importante papel, desde que as posições dos átomos ao longo de uma grande faixa de temperaturas se mantenham próximas aos seus valores médios, é possível tratar o sólido escolhido como um “conjunto de osciladores harmônicos praticamente não interagentes”, ou seja, tratar as oscilações de um sólido com base em um gás de fônons não interagentes.. Para esta classe de fenômenos, as funções termodinâmicas são suaves e contínuas.
A segunda categoria, por sua vez, é formada por sistemas nos quais a interação interatômica não pode ser desprezada e uma mudança de coordenadas não consegue transformar as equações para um sistema equivalente de quasi-partículas não interagentes. Nesta situação, os níveis de energia do sistema total não irão estar relacionados aos níveis de energia dos elementos individuais. Em vez disso, constata-se que, em circunstâncias favoráveis, um grande número de constituintes microscópicos do sistema podem exibir uma tendência de interagir uns com os outros de uma maneira bastante forte e cooperativa. Este comportamento, assume significado macroscópico a uma temperatura comumente chamada de temperatura crítica do sistema ().
Quando abordados os fenômenos pertencentes a essa segunda categoria é comum perceber-se uma mudança repentina do comportamento das propriedades termodinâmicas do sistema dado (com singularidades e descontinuidades), ou seja, transições de fase. Assim como os fenômenos críticos, as transições de fases costumam ocorrer nos mais diversos sistemas: fluidos simples e misturas, materiais magnéticos e ferroelétricos, superfluidos, supercondutores, etc. Os sistemas físico-químicos que sofrem transições de fase podem ser representados em vários graus de precisão.
As teorias clássicas das mudanças de fase em sólidos e líquidos envolvem problemas matemáticos admiráveis, que vêm sendo estudados desde 1873, quando van der Waals publicou sua tese de doutorado acerca do comportamento crítico em sistemas fluidos. Pierre Curie e Pierre Weiss, por sua vez, se dedicaram ao estudo da transição para o ferromagnetismo. Teorias dessa natureza, envolvem experiências nas vizinhanças dos pontos críticos e têm sido usadas para descrever os aspectos qualitativos de vários tipos de transições de fases.
Na região crítica (que envolve o ponto crítico), grandezas termodinâmicas como os calores específicos, a compressibilidade e a susceptibilidade magnética, apresentam um comportamento peculiar caracterizado por divergências assintóticas. Esse comportamento, por sua vez, é identificado através dos expoentes críticos.
A partir da década de 60, quando o avanço das técnicas e tecnologias permitiu que as teorias clássicas passassem por um processo mais rigoroso de análise, percebeu-se através das experiências nas vizinhanças da criticalidade que os expoentes críticos assumem valores universais, bem definidos, mas que não coincidem com as previsões das “teorias clássicas”. Assim sendo, enquanto as teorias clássicas para sistemas distintos afirmavam que estes expoentes possuíam um caráter universal (um conjunto clássico de valores), tanto os dados experimentais quanto diversos resultados teóricos apontavam para a existência de classes de universalidade (definidas por parâmetros como a dimensionalidade dos sistemas sob consideração).
Atualmente se reconhece que os expoentes críticos são determinados por pouquíssimos fatores, entre os quais estão:
A dimensionalidade dos sistemas físicos; A dimensionalidade do parâmetro de ordem; e O alcance das interações microscópicas (nos sistemas de interesse físico as interações microscópicas serão, em geral, de curto alcance).
Tendo em vista essas questões, será discutido agora um dos mais simples e mais estudados modelos da mecânica estatística: o modelo de Ising.
Definição Um dos fenômenos mais interessantes da física do estado sólido é o ferromagnetismo. Do mesmo modo, a magnetização espontânea dos materiais ferromagnéticos constituiu por muito tempo um problema intransponível para a física como ciência.
As primeiras teorias clássicas que tentaram explicar este problema surgiram em meados do século XIX, no entanto seu desenvolvimento completo se deu apenas com o surgimento da mecânica quântica e do conceito de spin. A partir deste momento, para explicar o ferromagnetismo, tornou-se interessante olhar para as características microscópicas do sistema e modelar o comportamento de alguns dos seus elementos.
O modelo de Ising, primeiramente sugerido por Wilhelm Lenz em 1920, com o objetivo de estudar o magnetismo em materiais, foi resolvido para uma dimensão pelo seu aluno de doutorado, o estudante Ernst Ising, em 1925. Consiste em um modelo que descreve as propriedades magnéticas de um sólido através das suas propriedades microscópicas, mais especificamente do comportamento de spins localizados e suas interações. O modelo de Ising é essencialmente um caso particular do modelo de Heisenberg que constrói um hamiltoniano baseado nas interações de troca entre os spins. O hamiltoniano de Heisenberg é escrito como
Que consiste em uma soma dupla sobre a interação de troca J de cada spin i com seus primeiros vizinhos j.
No modelo de Heisenberg os spins são tratados como vetores, ou seja, possuem componentes nas três dimensões espaciais, neste caso dizemos que a dimensionalidade d do spin é 3. Também é importante destacar que esta soma depende de uma rede na qual os spins estão localizados, podendo esta rede também possuir uma dimensionalidade D. O parâmetro J é uma medida da interação entre os spins que em geral depende da ordem do vizinho (primeiros vizinhos, segundos vizinhos). Se considerarmos apenas primeiros vizinhos, J pode sair do somatório de forma a obtermos
Abrindo o produto escalar,
O modelo de Ising considera a dimensionalidade do spin d = 1, ou seja, apenas uma das componentes aparece, por exemplo a direção z:
Note que neste caso surge uma anisotropia no modelo de Ising, ou seja, há uma direção cujas propriedades serão diferentes das demais, neste caso a direção z. É importante destacar que o modelo de Heisenberg é essencialmente isotrópico.
Ferromagnetismo no Modelo de Ising O modelo de Ising é principalmente utilizado para a descrição do ferromagnetismo então é preciso destacar quais são as propriedades que o hamiltoniano é capaz de prever. Ao reduzirmos a temperatura de um material que apresenta a fase ferromagnética, ele se magnetiza espontaneamente em uma direção a partir de uma temperatura crítica , caracterizando uma transição de fase, mas note que no modelo de Ising já há uma direção preferencial na qual ocorrerá a magnetização (no nosso caso a direção z).
Em sua tese de doutorado, Ernst Ising resolveu o caso com dimensionalidade da rede D = 1 e, embora tenha obtido resultados interessantes acerca das propriedades termodinâmicas, ele pode perceber que o caso em uma dimensão não possuía transição de fase ou magnetização espontânea. Porém, em 1944, Lars Onsager resolveu o problema para D = 2 utilizando algumas aproximações e pôde, então, evidenciar a magnetização espontânea abaixo da temperatura critica.
O cálculo por aproximação, feito para funções termodinâmicas com descontinuidades é bastante complicado visto que, a convergência da aproximação por funções analíticas em tais casos é lenta. Sem nenhuma aproximação, a solução analítica tanto para duas como para três dimensões seria impossível.
O modelo de Ising bidimensional cede a um tratamento exato na mecânica estatística. Esse é o único exemplo não trivial de uma transição de fase que pode ser trabalhada com rigor matemático. O nome modelo de Ising foi popularizado após o artigo de R. Peierls, publicado em 1936 com o título “On Ising’s Model of Ferromagnetism”. miniaturadaimagem|Rede linear (D = 1) mostrando o spin "central" em vermelho, os primeiros vizinhos em azul, os segundos vizinhos em verde e os vizinhos de maior ordem em branco. miniaturadaimagem|Rede bidimensional (D = 2) quadrada mostrando o spin "central" em vermelho, os primeiros vizinhos em azul, os segundos vizinhos em verde e os vizinhos de maior ordem em branco. A proposta de explicação que o modelo de Ising usa para a magnetização espontânea é baseada no conceito de interação de troca.FREITAS, A. S. Potenciais termodinâmicos, transições de fase e fenômenos críticos: uma introdução. Notas de aula (não publicadas). 2020. Para modelarmos essa situação teremos que considerar então os termos referentes à energia no estado fundamental, àqueles relativos à interação coulombiana (interação entre partículas eletricamente carregadas) além, é claro, do termo associado à interação de troca.
A medida que a agitação térmica é reduzida com o decréscimo da temperatura, as interações entre os vizinhos se torna predominante de forma aos vizinhos se alinharem. Podemos acrescentar ao hamiltoniano de Ising ainda um termo de interação com um campo magnético externo uniforme, sendo que este campo define e dá significado à direção z.
Ou,
Onde (elétron) e é o módulo do momento de dipolo magnético do elétron na direção z.
Macroscopicamente, o campo externo magnetiza o material ao mesmo tempo que a magnetização interage com o campo e vice e versa autoconsistentemente. Podemos contornar isto utilizando o modelo de Weiss, que introduz o conceito de campo médio (ou campo molecular).
A aproximação de campo médio consiste em considerar que o spin i interage com um campo que é uma média da contribuição da magnetização do material, desta forma o campo externo interage com o spin i diretamente e indiretamente através da magnetização. Nosso hamiltoniano pode ser escrito da seguinte forma: