Número

Número é um objeto abstrato da matemática usado para descrever a quantidade, ordem ou medida, o conceito de número provavelmente foi um dos primeiros conceitos matemáticos assimilados pela humanidade no processo de contagem.

Para isto, os números naturais eram um bom começo, o trabalho dos matemáticos nos levou a conceber outros tipos de números, os números inteiros são uma extensão dos números naturais que incluem os números inteiros negativos. Os números racionais, por sua vez, incluem frações de inteiros, os números reais são todos os números racionais mais os números irracionais.

História dos números A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.

Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.

O senso numérico, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.

O número sem contagem Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma ideia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.

Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem. O princípio de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de ideias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.

A ideia de correspondência A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...

A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...

A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine como fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.

Do relativo ao absoluto Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.

Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleção, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.

Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.

É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.

Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível exceção de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos , os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.

Definições 180px|direita|thumb|Página de rosto da versão resumida de Principia mathematica to *56. O conceito de números na sua forma mais simples é claramente abstrata e intuitiva; entretanto, foi objeto de estudo de diversos pensadores. Pitágoras de Samos (cerca de 571 a.C. ou 570 a.C. - 497 a.C. ou 496 a.C.), por exemplo, considerava o número a essência e o princípio de todas as coisas; para Arthur Schopenhauer 1788 — 1860) o conceito numérico apresenta-se como a ciência do tempo puro. Outras definições:

Número é uma coleção de unidades, Tales de Mileto (cerca de 624 ou 625 a.C. - 556 ou 558 a.C.) e Marie Jean Antoine Nicolas Caritat ( 1743 - 1794); Número é o movimento acelerado ou retardado, Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.); Número é um composto da unidade, Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.); Número é a relação entre a quantidade e a unidade, Isaac Newton (1643 — 1727); Número é a razão entre uma quantidade abstrata e uma outra quantidade da mesma espécie, Isaac Newton (1643— 1727); Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade, Benjamin Constant (1767 — 1830); Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração, Émile Boutroux (1845 — 1921); Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe, Bertrand Russell ( 1872 — 1970) em Principia mathematica).

Palavras que representam números em algumas línguas indo-europeias Número Grego arcaico Latim Alemão Inglês FrancêsItaliano Russo EspanholPortuguês1enūnuseinsoneununoodynunoum2duoduozweitwodeuxduedvadosdois3tritrēsdreithreetroistretritrestrês4tetraquattuorvierfourquatrequattrochetyrecuatroquatro5pentequīnquefünffivecinqcinquepiatcincocinco6hexsexsechssixsixseichestseisseis7heptaseptemsiebensevenseptsettesemsietesete8octooctōachteighthuitottovosemochooito9enneanovemneunnineneufnovedeviatnuevenove10decadecemzehntendixdiecedesiatdiezdez100hecatoncentumhunderthundredcentcentostociencem1000xiliamīlletausendthousandmillemilletysyachamilmil

Conjuntos numéricos Os números podem ser classificados de acordo com um conjunto de números, que vem a ser uma coleção de elementos,Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, por Georg Cantor mostrados a seguir:

Exemplos e definições dos conjuntos numéricos mais importantes:

+ Conjunto de números Natural 0, 1, 2, 3, 4, ... ou 1, 2, 3, 4, ... Inteiro ..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Racional onde a e b são inteiros e b é diferente de zero Real Limite de uma sequência de números racionais convergentes Complexo a + bi aonde a e b são números reais e i é a raiz quadrada de  −1

Número complexo

Um número complexo é um número que pode ser escrito na forma , em que e são números reais e denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade sendo que e são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de .Trigonometria e Números Complexos, por M. P. do Carmo, A. C. Morgado, E. Wagner; IMPA-VITAE, Brasil, 1992Whitehead, Alfred North & Russell, Bertrand: Principia Mathematica. 3 vols, Merchant Books, 2001, ISBN 978-1603861823 (vol. 1), ISBN 978-1603861830 (vol. 2), ISBN 978-1603861847 (vol. 3)Russell, Bertrand (1919), Introduction to Mathematical Philosophy, George Allen and Unwin, London, UK. Reimpressão, John G. Slater (intro.), Routledge, London, UK, 1993 O conjunto dos números complexos, denotado por , contém o conjunto dos números reais.

Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais.

Número real

O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos).

Número racional

É todo o número que pode ser representado por uma fração entre dois números inteiros, onde é representado pelo conjunto P/Q sendo P e Q números inteiros.

O conjunto dos números racionais (representado por Q, o uso da letra Q é derivada da palavra inglesa quotient, cujo significado é quociente, já que a forma de escrever um número racional é o quociente de dois números inteiros, com o denominador diferente de 0).

Número inteiro

São constituídos dos números naturais, incluindo o zero (0, 1, 2, 3, ...) e dos simétricos dos números naturais não nulos (-1, -2, -3, ...). Dois números são simétricos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, estes números são chamados de inteiros relativos.

O conjunto de todos os inteiros é representado por um Z em negrito (ou ainda um em blackboard bold, ou , cujo código Unicode é U+2124), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.

Os inteiros (juntamente com a operação de adição) formam o menor grupo que contém o monoide aditivo dos números naturais. Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.

Número natural

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, 3, 4, 5...). O número natural também é definido como um número inteiro positivo, aonde o zero não é considerado como um número natural. Quando o símbolo dos números naturais (N) vier seguido de um asterisco (*) é retirado o 0 (zero).

Número inteiro negativo