Em matemática, uma função matricial é uma função cujo domínio são matrizes. O determinante, o traço e a exponencial matricial são exemplos de funções matriciais cujo domínio são as matrizes quadradas com imagem nos números complexos.
O termo também pode ser usado para a generalização de uma função f de escalares, para uma função fM entre matrizes quadradas. Por exemplo, um polinômio p(x) leva naturalmente a uma função p de domínio no conjunto das matrizes quadradas de ordem nxn e contradomínio no mesmo conjunto.
Polinômio matricial Seja um polinômio na variável definido por: . Se é uma matrix quadrada então é definido como: , onde é a matriz identidade .
Fixando-se a matriz A, a função
que leva cada polinômio p com coeficientes em K na matriz p(A) é um homomorfismo das álgebras. Em particular, é um homomorfismo de anéis, portanto o seu núcleo é um ideal de K[x].
A seguinte propriedade vale para qualquer polinômio p, quando a matriz A é um bloco de Jordan:
Isto motiva a definição de f(A) para qualquer matriz A e qualquer função f para as quais as derivadas de ordem suficiente estão definidas nos autovalores da matriz.
Cálculo funcional Se é uma matriz autoadjunta e é um polinômio , então vale a igualdade:
Aqui a norma matricial é a norma operacional euclidiana e é conjunto de autovalores de .
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