Em matemática, diz-se que duas matrizes quadradas e são semelhantes (ou similares) se existir uma matriz invertível tal que:

Definição

Uma matriz é dita ser semelhante à matriz se, e somente se, existe uma matriz invertível tal que: .

Observamos que a definição exige que e sejam matrizes quadradas de mesma ordem. Pois, caso contrário, a identidade acima não estaria bem definida, ou seja, este conceito de semelhança se aplica apenas a matrizes quadradas.

Relação de equivalência O conceito de matriz semelhante define uma relação de equivalência, i.e.: (Reflexividade) Toda matriz é semelhante a si mesma; (Simetria) é semelhante a implica semelhante a ; (Transitividade) é semelhante a e é semelhante a implica semelhante a ;

Demonstração 1. Como , temos que é semelhante a .

2. Se , então com . Ou seja, é semelhante a implica semelhante a .

3. Se e , então com . Isto é, é semelhante a e é semelhante a implica semelhante a .

Propriedades Sejam A e B matrizes semelhantes, então:TELES, Joana; NUNES VICENTE, Luís Nunes Apontamentos de Complementos de Álgebra Linear e Geometria Analítica, 2005 - acesso a 30 de Setembro de 2007 ; é invertível se e somente se também o for; e possuem o mesmo polinômio característico; e tem os mesmos valores próprios com a mesma multiplicidade; e têm o mesmo traço; e são semelhantes para todo . As matrizes de um operador linear de dimensão finita são semelhantes.

Demonstração

Propriedade 1. Mostraremos que se e são matrizes semelhantes, então . Com efeito, temos que existe uma matriz invertível tal que . Pelas propriedades do determinante segue que:

Propriedade 2. Mostraremos que se e são matrizes semelhantes, então é invertível se, e somente se, também for. Com efeito, temos que existe uma matriz invertível tal que , ou equivalentemente, . Suponhamos que seja invertível. Então, afirmamos que é matriz inversa de . De fato:

e . Isto mostra que se é invertível, então é invertível. A recíproca segue raciocínio análogo.

Propriedade 3. Mostraremos que se e são matrizes semelhantes, então e possuem o mesmo polinômio característico. Com efeito, existe uma matriz invertível tal que . Por definição, o polinômio característico de é dado por . Daí, segue que:

Isso conclui a demonstração.

Propriedade 4. Segue imediatamente da propriedade 3.

Propriedade 5. Segue da propriedade 3, pois o traço de uma matriz é o coeficiente do termo de grau do seu polinômio característico.

Propriedade 6. Mostraremos que se e são matrizes semelhantes, então e também são para todo número natural. Com efeito, existe uma matriz invertível tal que . Por indução em vemos que . Ou seja, , como queríamos demonstrar.

Propriedade 7. Seja um operador linear sobre o espaço vetorial de dimensão finita com bases e . Sejam, então, e as matrizes de nas respectivas bases e , i.e.:

e

onde, denota a representação do vetor na base com notação análoga para . Seja, agora, a matriz de mudança da base para a base , i.e.: . Logo, temos: . Como a última igualdade é válida para todo , concluímos que e são matrizes semelhantes.

Ver também Matriz congruente Matriz diagonalizável

Categoria:Álgebra linear