miniatura|A espiral de Ulam. Os pontos vermelhos representam números primos; os pontos azuis representam números compostos, com o tamanho do ponto indicando o nível de composição. (clique na imagem para ampliar) A Espiral de Ulam, ou Espiral dos Primos, é um método simples de representar os números primos por intermédio de um grafo e que revela um padrão que permanece por explicar. Foi descoberta pelo matemático Stanisław Ulam em 1963, enquanto rabiscava distraidamente num papel por estar entediado durante um encontro científico. Ulam, aborrecido, desenhou um grafo com números, começando com o 1 no centro e prosseguindo, em espiral, para o exterior:
250px|centro|Números de 1 a 5 em espiral
Então, assinalou todos os primos e obteve a seguinte figura:
250px|centro|Espiral de Ulam (pequena)
Verificou, surpreendido, que os números assinalados tendiam a agrupar-se segundo diagonais. A imagem abaixo é de uma Espiral de Ulam 200×200, onde os números primos estão assinalados a preto. As diagonais são perfeitamente visíveis, confirmando o padrão.Stein, M. and Ulam, S. M. (1967), An Observation on the Distribution of Primes. American Mathematical Monthly 74, 43-44.
250px|direita|miniatura|Espiral de Ulam (200×200) Todos os números primos, excepto o 2, são ímpares. Como na Espiral de Ulam as diagonais adjacentes são, alternadamente, pares e ímpares, é normal que todos os números primos estejam em diagonais alternadas. No entanto, é curiosa a tendência de certas diagonais terem mais números primos do que outras.* Stein, M. L.; Ulam, S. M.; and Wells, M. B. (1964), A Visual Display of Some Properties of the Distribution of Primes. American Mathematical Monthly 71, 516-520.
Até agora, os testes confirmaram que há diagonais mesmo quando se representa uma quantidade muito grande de números. O padrão também parece manter-se mesmo que o número do centro não seja 1 (pode ser muito maior que 1). Isto implica que há várias constantes inteiras b e c tais que a função:
gera uma quantidade de números primos (com n = 1, 2, 3, ...) que é grande comparada com a proporção de números primos entre números de magnitude semelhante. Esta descoberta foi tão significativa que a Espiral de Ulam apareceu na capa da Scientific American em Março de 1964.
A uma distância suficiente do centro, também são perfeitamente visíveis linhas horizontais e verticais.
Explicação As linhas diagonais, horizontais e verticais na espiral numérica correspondem a polinómios da forma
onde b e c são constantes inteiras. Quando b é par, as linhas são diagonais, e todos os números são ou ímpares ou pares, dependendo do valor de c. Não é, portanto, surpresa que todos os primos, exceto o 2, se encontrem em diagonais alternadas da espiral de Ulam. Alguns polinómios, como , embora produzam apenas valores ímpares, fatorizam-se sobre os inteiros e, portanto, nunca são primos, exceto possivelmente quando um dos fatores é igual a 1. Tais exemplos correspondem a diagonais que são desprovidas de primos ou quase isso.
Para obter uma compreensão de por que algumas das diagonais ímpares restantes podem ter uma maior concentração de primos do que outras, considere e . Calcule os restos da divisão por 3 à medida que n assume valores sucessivos 0, 1, 2, .... Para o primeiro destes polinómios, a sequência de restos é 1, 2, 2, 1, 2, 2, ..., enquanto para o segundo, é 2, 0, 0, 2, 0, 0, .... Isto implica que na sequência de valores assumidos pelo segundo polinómio, dois em cada três são divisíveis por 3 e, portanto, certamente não são primos, enquanto na sequência de valores assumidos pelo primeiro polinómio, nenhum é divisível por 3. Assim, parece plausível que o primeiro polinómio produzirá valores com uma densidade de primos mais elevada do que o segundo. No mínimo, esta observação dá poucos motivos para acreditar que as diagonais correspondentes serão igualmente densas em primos. Deve-se, naturalmente, considerar a divisibilidade por outros primos além do 3. Examinando também a divisibilidade por 5, os restos da divisão por 15 repetem-se com o padrão 1, 11, 14, 10, 14, 11, 1, 14, 5, 4, 11, 11, 4, 5, 14 para o primeiro polinómio, e com o padrão 5, 0, 3, 14, 3, 0, 5, 3, 9, 8, 0, 0, 8, 9, 3 para o segundo, implicando que apenas três de 15 valores na segunda sequência são potencialmente primos (por não serem divisíveis nem por 3 nem por 5), enquanto 12 de 15 valores na primeira sequência são potencialmente primos (visto que apenas três são divisíveis por 5 e nenhum é divisível por 3).
Embora resultados rigorosamente provados sobre primos em sequências quadráticas sejam escassos, considerações como as acima dão origem a uma conjetura plausível sobre a densidade assintótica de primos em tais sequências, que é descrita na secção seguinte.
Conjetura F de Hardy e Littlewood No seu artigo de 1923 sobre a Conjetura de Goldbach, Hardy e Littlewood declararam uma série de conjeturas, uma das quais, se verdadeira, explicaria algumas das características marcantes da espiral de Ulam. Esta conjetura, que Hardy e Littlewood chamaram de "Conjetura F", é um caso especial da Conjetura de Bateman–Horn e afirma uma fórmula assintótica para o número de primos da forma ax2 + bx + c. Raios emanando da região central da espiral de Ulam fazendo ângulos de 45° com a horizontal e vertical correspondem a números da forma 4x2 + bx + c com b par; raios horizontais e verticais correspondem a números da mesma forma com b ímpar. A Conjetura F fornece uma fórmula que pode ser usada para estimar a densidade de primos ao longo de tais raios. Ela implica que haverá uma variabilidade considerável na densidade ao longo de diferentes raios. Em particular, a densidade é altamente sensível ao discriminante do polinómio, b2 − 16c.
250px|thumb|Os números primos da forma 4x2 − 2x + 41 com x = 0, 1, 2, ... foram destacados a roxo. A linha paralela proeminente na metade inferior da figura corresponde a 4x2 + 2x + 41 ou, equivalentemente, a valores negativos de x A Conjetura F trata de polinómios da forma ax2 + bx + c onde a, b e c são inteiros e a é positivo. Se os coeficientes contiverem um fator comum maior que 1 ou se o discriminante Δ = b2 − 4ac for um quadrado perfeito, o polinómio fatoriza-se e, portanto, produz números compostos à medida que x assume os valores 0, 1, 2, ... (exceto possivelmente para um ou dois valores de x onde um dos fatores é igual a 1). Além disso, se a + b e c forem ambos pares, o polinómio produz apenas valores pares e é, portanto, composto, exceto possivelmente para o valor 2. Hardy e Littlewood afirmam que, fora destas situações, ax2 + bx + c assume valores primos infinitas vezes conforme x assume os valores 0, 1, 2, ... Esta afirmação é um caso especial de uma conjetura anterior de Bunyakovsky e permanece aberta. Hardy e Littlewood afirmam ainda que, assintoticamente, o número P(n) de primos da forma ax2 + bx + c e menores que n é dado por
onde A depende de a, b e c, mas não de n. Pelo teorema do número primo, esta fórmula com A definido como igual a um é o número assintótico de primos menores que n esperado num conjunto aleatório de números com a mesma densidade do conjunto de números da forma ax2 + bx + c. Mas como A pode assumir valores maiores ou menores que 1, alguns polinómios, de acordo com a conjetura, serão especialmente ricos em primos e outros especialmente pobres. Um polinómio excecionalmente rico é 4x2 − 2x + 41, que forma uma linha visível na espiral de Ulam. A constante A para este polinómio é aproximadamente 6,6, o que significa que os números que gera têm quase sete vezes mais probabilidades de serem primos do que números aleatórios de tamanho comparável, de acordo com a conjetura. Este polinómio específico está relacionado com o polinómio gerador de primos de Euler x2 − x + 41 ao substituir x por 2x, ou equivalentemente, ao restringir x aos números pares. A constante A é dada por um produto que percorre todos os números primos,
,
no qual é o número de zeros do polinómio quadrático módulo p e, portanto, assume um dos valores 0, 1 ou 2. Hardy e Littlewood dividem o produto em três fatores como
.
Aqui, o fator ε, correspondente ao primo 2, é 1 se a + b for ímpar e 2 se a + b for par. O primeiro índice do produto p percorre os finitamente muitos primos ímpares que dividem tanto a quanto b. Para estes primos , pois p não pode dividir c. O segundo índice do produto percorre os infinitamente muitos primos ímpares que não dividem a. Para estes primos, é igual a 1, 2 ou 0, dependendo de o discriminante ser 0, um quadrado diferente de zero ou um não-quadrado módulo p. Isto é contabilizado pelo uso do Símbolo de Legendre, . Quando um primo p divide a mas não b, há uma raiz módulo p. Consequentemente, tais primos não contribuem para o produto.
Um polinómio quadrático com A ≈ 11,3, atualmente o valor mais alto conhecido, foi descoberto por Jacobson e Williams.
Variantes O artigo de Klauber de 1932 descreve um triângulo no qual a linha n contém os números (n − 1)2 + 1 até n2. Como na espiral de Ulam, polinómios quadráticos geram números que se encontram em linhas retas. Linhas verticais correspondem a números da forma k2 − k + M. Linhas verticais e diagonais com alta densidade de números primos são evidentes na figura.
Robert Sacks criou uma variante da espiral de Ulam em 1994. Na espiral de Sacks, os inteiros não negativos são desenhados numa Espiral de Arquimedes em vez da espiral quadrada usada por Ulam, e são espaçados de modo que um quadrado perfeito ocorra em cada rotação completa. (Na espiral de Ulam, dois quadrados ocorrem em cada rotação.) O polinómio gerador de primos de Euler, x2 − x + 41, agora aparece como uma única curva conforme x assume os valores 0, 1, 2, ... Esta curva aproxima-se assintoticamente de uma linha horizontal na metade esquerda da figura. (Na espiral de Ulam, o polinómio de Euler forma duas linhas diagonais, uma na metade superior da figura, correspondente a valores pares de x na sequência, a outra na metade inferior da figura, correspondente a valores ímpares de x na sequência.)
Estruturas adicionais podem ser vistas quando números compostos também são incluídos na espiral de Ulam. O número 1 tem apenas um único fator, ele próprio; cada número primo tem dois fatores, ele próprio e 1; números compostos são divisíveis por pelo menos três fatores diferentes. Usar o tamanho do ponto que representa um inteiro para indicar o número de fatores e colorir os números primos a vermelho e os números compostos a azul produz a figura mostrada.
Espirais seguindo outros ladrilhamentos do plano também geram linhas ricas em números primos, por exemplo, espirais hexagonais.
Variantes Outras variantes da Espiral de Ulam, como a Espiral de Sacks, também têm padrões que estão por explicar.
Bibliografia
Categoria:Curvas Categoria:Números primos