Em matemática, no estudo das séries de funções, o teste M de Weierstrass é uma extensão do teste da comparação que aplica à estabelecer a convergência uniforme destas séries, ao compará-las com séries numéricas.
O teste M de Weierstrass se aplica originalmente às séries de funções reais ou complexas, mas pode se aplicar a qualquer a séries de funções cuja imagem são pontos de um espaço de Banach.
Notação e enunciado Sejam uma seqüência de funções reais ou complexas definidas em um conjunto , uma seqüência de reais não-negativos, tais que: para todo e todo .
Então: converge uniformemente em
Demonstração O teste da comparação garante que a série numérica: converge para cada Seja o limite pontual de Para mostrar que a convergência é uniforme, fixe um . Da convegência da série formada pelos , temos que existe um tal que:
Então estimamos pelo teste da comparação, mais uma vez.
E o resultado segue, pois não foi escolhido com base em .
Generalização A versão mais geral envolvendo funções cuja imagem está num espaço de Banach é análoga substituindo módulos por normas. .
Ver também Convergência uniforme Convergência pontual Séries de Taylor Raio de convergência
Categoria:Análise real Categoria:Séries matemáticas Categoria:Testes de convergência