Em teoria das probabilidades e estatística, a função densidade de probabilidade (FDP), ou densidade de uma variável aleatória contínua, é uma função que descreve a verossimilhança de uma variável aleatória tomar um valor dado. A probabilidade da variável aleatória cair em uma faixa particular é dada pela integral da densidade dessa variável sobre tal faixa - isto é, é dada pela área abaixo da função densidade mas acima do eixo horizontal e entre o menor e o maior valor dessa faixa. A função densidade de probabilidade é não negativa sempre, e sua integral sobre todo o espaço é igual a um. A função densidade pode ser obtida a partir da função distribuição acumulada a partir da operação de derivação (quando esta é derivável).
Se uma variável aleatória tem densidade dada por f(x), então o intervalo infinitesimal [x, x+dx] tem probabilidade f(x) dx. Formalmente, a função densidade de probabilidade (ou fdp), denotada por , de uma variável aleatória contínua X é a função que satisfaz
Em linguagem matemática Em Português Uma variável aleatória contínua tem densidade f(x) se f é uma função não-negativa integrável à Lebesgue tal que a probabilidade no intervalo [a,b] é dada por Teoria da probabilidade. Disponível em: <http://www2.dbd.puc-rio.br/pergamum/tesesabertas/0210463_06_cap_04.pdf>. Página 2. Acesso em: 22 de fevereiro de 2011. A probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor menor ou igual a um certo x é dada pela integral . Equivale, quando à função distribuição acumulada das variáveis aleatórias discretas.
Os termos função distribuição de probabilidadeProbability distribution function PlanetMath e função de probabilidadeProbability Function at Mathworld por vezes têm sido utilizados para denotar a função de densidade de probabilidade. No entanto, esse uso não é padrão entre estatísticos. Em outras fontes, função de distribuição de probabilidade pode ser utilizado quando a distribuição de probabilidade é definida como uma função sobre conjuntos de valores, ou pode referir-se a função distribuição acumulada, ou ainda pode ser uma função massa de probabilidade (FMP), em vez de densidade. Existem outras confusões da terminologia porque função densidade também tem sido usado para o que é aqui chamado de função massa de probabilidade (FMP). Ord, J.K. (1972) Families of Frequency Distributions, Griffin. ISBN 0-85264-137-0 (for example, Table 5.1 and Example 5.4) Em geral, porém, a FMP é usada no contexto de variáveis aleatórias discretas (variáveis aleatórias que tenham valores de um conjunto discreto), enquanto FDP é usado no contexto de variáveis aleatórias contínuas.
Exemplo
Suponhamos que uma espécie de bactérias normalmente vive por 4 a 6 horas. Qual é a probabilidade de que uma bactéria viva exatamente 5 horas? A resposta é de 0%. Muitas bactérias vivem por aproximadamente 5 horas, mas não há nenhuma chance de que qualquer bactéria morra em exatamente 5.000000000 horas.
Em vez disso, poderíamos perguntar: qual é a probabilidade de que a bactéria morra entre 5 horas e 5,01 horas? Vamos dizer que a resposta é de 0,02 (ou seja, 2%). A seguir: qual é a probabilidade de que a bactéria morra entre 5 horas e 5.001 horas? A resposta é provavelmente em torno de 0,002, uma vez que este é um décimo do intervalo anterior. A probabilidade de que a bactéria morre entre 5 horas e 5.0001 horas é provavelmente cerca de 0,0002, e assim por diante.
Nestes três exemplos, a relação (probabilidade de morrer durante um intervalo)/(período de duração do intervalo) é aproximadamente constante, e igual a 2 por hora (ou 2 horas-1). Por exemplo, há uma probabilidade de 0,02 de morte no intervalo de 0,01 horas entre 5 e 5,01 horas, e (0,02 de probabilidade / 0,01 horas) = 2 horas-1. Esta quantidade de 2 horas-1 é chamada de densidade de probabilidade para a morte em cerca de 5 horas.
Portanto, em resposta à pergunta qual é a probabilidade de que a bactéria morra em 5 horas?, a resposta literalmente correta, mas inútil, é 0, mas uma melhor resposta pode ser escrita como (2 horas-1) dt. Esta é a probabilidade de que a bactéria morra dentro de uma pequena (infinitesimal) janela de tempo de cerca de 5 horas, onde dt é a duração da janela.
Por exemplo, a probabilidade de que ela viva por mais do que 5 horas, mas menos do que (5 horas + 1 nanossegundo), é (2 horas-1) x (1 nanosegundo) ≃ 6 × 10-13 (usando a conversão de unidade 3,6 × 1012 nanossegundos = 1 hora).
Existe uma função de densidade de probabilidade com f sendo f (5 horas) = 2 horas-1. A integral de f sobre qualquer janela de tempo (não apenas janelas infinitesimais, mas também grandes janelas) é a probabilidade de que a bactéria morra nessa janela.
Diferença entre "função de probabilidade" e "função densidade de probabilidade"
thumb|100px|Visualização geométrica da moda, mediana e média de uma função densidade de probabilidade arbitrária.
O conceito de "função densidade de probabilidade" é muito semelhante ao conceito de "função de probabilidade", que serve para o caso de variáveis aleatórias discretas. No entanto, é preciso entender bem a diferença entre eles.
Uma variável aleatória discreta tem um número definido de possíveis ocorrências. Por exemplo, a variável aleatória "resultado de um dado" tem apenas 6 possíveis ocorrências: 1,2,3,4,5 e 6. Por isso, a função de probabilidade a ela associada também só pode assumir 6 valores (1/6 cada uma, se o dado não for viciado), que necessariamente somarão 1.
Uma variável aleatória contínua, ao contrário, tem um número infinito de ocorrências. Por exemplo, a variável aleatória "idade de cada empregado de uma empresa" pode assumir infinitos valores, por exemplo 18,1 anos, 18,23 anos, 20,341 anos, 30,3167 anos etc. Por isso, se simplesmente tentarmos calcular como faz uma função de probabilidade para uma variável aleatória discreta, chegaremos ao seguinteCASELLA, George, e BERGER, Roger L. Inferência estatística - tradução da 2ª edição norte-americana. Centage Learning, 2010 ISBN13: 9788522108947, ISBN10: 8522108943. Página 33.:
Portanto,
Ou seja, a probabilidade de a variável aleatória contínua X assumir um determinado valor x é zero. Por isso, a "função densidade de probabilidade" não trabalha com valores pontuais, e sim com intervalos infinitesimais - ela informa a probabilidade de a variável X assumir um valor naquele intervalo.
Funções distribuição de probabilidade
Se uma variável aleatória definida no espaço probabilidade é dada, podemos fazer questões como "Qual a probabilidade de que o valor de é maior do que 2?". Isto é o mesmo que a probabilidade do evento que normalmente se escreve como por abreviação.
Registrando todas estas probabilidades de amplitudes totais da variável aleatória real X gera a distribuição de probabilidade de X. A distribuição de probabilidade "esquece" o espaço probabilidade particular usado para definir X e regista apenas as probabilidades de vários valores de X. Tal distribuição de probabilidade pode ser sempre capturada pela sua função distribuição acumulada
e por vezes também usando a função densidade da probabilidade. Em termos da teoria da medida, nós usamos a variável aleatória X para "transpor" a medida P de Ω para uma medida dF em R. O espaço probabilidade subjacente Ω é um instrumento técnico usado para garantir a existência de variáveis aleatórias, e por vezes para as construir. Na prática, usa-se geralmente o espaço Ω e apenas se coloca uma medida em R que consigna a medida 1 para o todo a linha real, i.e. trabalha-se com distribuições de probabilidade em vez de variáveis aleatórias.
Distribuições univariadas absolutamente contínuas
A função densidade de probabilidade é mais comumente associado com distribuições univariadas absolutamente contínuas. Uma variável aleatória X'’ tem densidade fX, onde fX é uma função integral de Lebesgue não-negativa, se:
Portanto, se FX é a função distribuição acumulada de ‘’X, então:
e (se fX é contínuo em x)
Intuitivamente, se pode pensar em fX(x) dx como sendo a probabilidade de X cair em um intervalo infinitesimal [x, x + dx].
Definição formal
(Essa definição pode se estender a qualquer distribuição de probabilidade usando a definição teórico-mensuravél de probabilidade.)
Uma variável aleatória X com valores em um espaço mensurável (normalmente Rn com conjuntos de Borel como subconjuntos mensuráveis) tem como distribuição de probabilidade a medida X∗P’’ com : a densidade de X a respeito de uma medida de referência μ em é uma derivada de Radon–Nikodym:
Isto é, f é qualquer função mensurável com a propriedade:
para qualquer conjunto mensurável .
Discussão
No caso univariado contínuo acima, a medida de referência é a medida de Lebesgue. A função massa de probabilidade de uma variável aleatória discreta é a densidade no que diz respeito à medida contável sobre o espaço da amostra (normalmente o conjunto de números inteiros, ou um subconjunto dos mesmos).
Note-se que não é possível definir uma densidade referindo a uma medida arbitrária (por exemplo, não se pode escolher a medida contável como uma referência para uma variável aleatória contínua). Além disso, quando ela existe, a densidade é em quase todos os lugares únicas.
Mais detalhes
Ao contrário de uma probabilidade, uma função de densidade de probabilidade pode assumir valores maiores do que um. Por exemplo, a distribuição uniforme contínua no intervalo [0, ½] tem densidade de probabilidade f(x) = 2 para 0 ≤ x ≤ ½ e f (x) = 0 nos outros trechos.
A distribuição normal padrão tem densidade de probabilidade
Se uma variável aleatória X é dada e sua distribuição admite uma função densidade de probabilidade f, então o valor esperado de X (se o valor esperado exista) pode ser calculado como
Nem toda distribuição de probabilidade tem uma função densidade: as distribuições de variáveis aleatórias discretas não possuem; nem a distribuição de Cantor, mesmo ela não tendo qualquer componente discreto, isto é, não atribui probabilidade positiva para qualquer ponto individual.
Uma distribuição tem uma função densidade, se e somente se a sua função distribuição acumulada F (x) é absolutamente contínua. Neste caso: F é diferenciável em quase toda parte, e a sua derivada pode ser usada como densidade de probabilidade:
Se uma distribuição de probabilidade admite uma densidade, então a probabilidade de cada conjunto de um ponto {a} é zero; o mesmo vale para conjuntos finitos e contáveis.
Duas densidades de probabilidade f e g'’ representam precisamente a mesma distribuição de probabilidade se eles diferem apenas em um conjunto com medida de Lebesgue zero.
No campo da física estatística, uma reformulação não formal da relação acima entre a derivada da função distribuição acumulada e a função densidade de probabilidade é geralmente utilizada como a definição da função densidade de probabilidade. Esta definição alternativa é a seguinte:
Se dt é um número infinitamente pequeno, a probabilidade de que X está incluso no intervalo (t, t + dt) é igual a f(t) dt, ou:
Função densidade de probabilidade conjunta
Uma função de em é uma função densidade de probabilidade conjunta, ou fdp conjunta do vetor aleatório bivariado contínuo (X,Y) se, para cada conjunto ,
Uma FDP conjunta é utilizada exatamente como uma univariada, exceto que agora as integrais são duplas nos conjuntos do plano.CASELLA, George, e BERGER, Roger L. Inferência estatística - tradução da 2ª edição norte-americana. Centage Learning, 2010 ISBN13: 9788522108947, ISBN10: 8522108943. Página 130
Ligação entre distribuições discretas e contínuas